Страница 121 номер 15.4, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Решите уравнение, используя метод замены переменной: 1) \(x^2 - 4x - 3\sqrt{x^2 - 4x + 20} + 10 = 0\); 2) \(2\sqrt{x^2 - 3x + 11} = 4 + 3x - x^2\); 3) \(\sqrt{2x^2 - 6x + 40} = x^2 - 3x + 8\); 4) \(5x^2 + 10x + \sqrt{x^2 + 2x - 15} = 123\).
1) \(x^2 - 4x + 20 = (x - 2)^2 + 16 > 0\) при всех \(x\).
Пусть \(\sqrt{x^2 - 4x + 20} = t\), \(t \geqslant 0\); тогда \(x^2 - 4x = t^2 - 20\) и \(t^2 - 20 - 3t + 10 = 0\); \(t^2 - 3t - 10 = 0\); \(t = 5\) или \(t = -2\).
Условию \(t \geqslant 0\) отвечает только \(t = 5\): \(x^2 - 4x + 20 = 25\); \(x^2 - 4x - 5 = 0\); \(x = -1\) или \(x = 5\).
2) \(x^2 - 3x + 11 = \left(x - \frac{3}{2}\right)^2 + 8{,}75 > 0\) при всех \(x\).
Пусть \(\sqrt{x^2 - 3x + 11} = t\), \(t \geqslant 0\); тогда \(x^2 - 3x = t^2 - 11\), правая часть равна \(4 - \left(x^2 - 3x\right) = 15 - t^2\) и \(2t = 15 - t^2\); \(t^2 + 2t - 15 = 0\); \(t = 3\) или \(t = -5\).
Левая часть уравнения неотрицательна, поэтому неотрицательна и правая — это то же условие \(t \geqslant 0\), и подходит только \(t = 3\): \(x^2 - 3x + 11 = 9\); \(x^2 - 3x + 2 = 0\); \(x = 1\) или \(x = 2\).
3) \(2x^2 - 6x + 40 = 2\left(x - \frac{3}{2}\right)^2 + 35{,}5 > 0\) при всех \(x\).
Пусть \(\sqrt{2x^2 - 6x + 40} = t\), \(t \geqslant 0\); тогда \(x^2 - 3x = \frac{t^2 - 40}{2}\), правая часть равна \(\frac{t^2 - 40}{2} + 8 = \frac{t^2 - 24}{2}\) и \(t = \frac{t^2 - 24}{2}\); \(2t = t^2 - 24\); \(t^2 - 2t - 24 = 0\); \(t = 6\) или \(t = -4\).
Левая часть уравнения неотрицательна, поэтому неотрицательна и правая — это то же условие \(t \geqslant 0\), и подходит только \(t = 6\): \(2x^2 - 6x + 40 = 36\); \(2x^2 - 6x + 4 = 0\); \(x^2 - 3x + 2 = 0\); \(x = 1\) или \(x = 2\).
4) ОДЗ: \(x^2 + 2x - 15 \geqslant 0\), то есть \(x \leqslant -5\) или \(x \geqslant 3\).
Пусть \(\sqrt{x^2 + 2x - 15} = t\), \(t \geqslant 0\); тогда \(5x^2 + 10x = 5t^2 + 75\) и \(5t^2 + 75 + t = 123\); \(5t^2 + t - 48 = 0\); \(D = 1 + 960 = 961\); \(t = \frac{-1 \pm 31}{10}\), то есть \(t = 3\) или \(t = -3{,}2\).
Условию \(t \geqslant 0\) отвечает только \(t = 3\): \(x^2 + 2x - 15 = 9\); \(x^2 + 2x - 24 = 0\); \(x = -6\) или \(x = 4\) — оба значения принадлежат области определения.
Ответ: 1) \(-1\); 5; 2) 1; 2; 3) 1; 2; 4) \(-6\); 4.
Решите уравнение, используя метод замены переменной: 1) \(x^2 - 4x - 3\sqrt{x^2 - 4x + 20} + 10 = 0\); 2) \(2\sqrt{x^2 - 3x + 11} = 4 + 3x - x^2\); 3) \(\sqrt{2x^2 - 6x + 40} = x^2 - 3x + 8\); 4) \(5x^2 + 10x + \sqrt{x^2 + 2x - 15} = 123\).
1) Подкоренное выражение \(x^2 - 4x + 20 = (x - 2)^2 + 16\) положительно при всех \(x\).
Пусть \(\sqrt{x^2 - 4x + 20} = t\), \(t \geqslant 0\). Тогда \(x^2 - 4x = t^2 - 20\) и данное уравнение принимает вид \(t^2 - 20 - 3t + 10 = 0\); \(t^2 - 3t - 10 = 0\); \(t = 5\) или \(t = -2\).
Так как \(t \geqslant 0\), то подходит только \(t = 5\): \(x^2 - 4x + 20 = 25\); \(x^2 - 4x - 5 = 0\); \(x = -1\) или \(x = 5\).
2) Подкоренное выражение \(x^2 - 3x + 11 = \left(x - \frac{3}{2}\right)^2 + 8{,}75\) положительно при всех \(x\).
Пусть \(\sqrt{x^2 - 3x + 11} = t\), \(t \geqslant 0\). Тогда \(x^2 - 3x = t^2 - 11\), и правая часть уравнения равна \(4 - \left(x^2 - 3x\right) = 15 - t^2\). Данное уравнение принимает вид \(2t = 15 - t^2\); \(t^2 + 2t - 15 = 0\); \(t = 3\) или \(t = -5\).
Левая часть данного уравнения неотрицательна, поэтому неотрицательной должна быть и правая часть; это то же условие \(t \geqslant 0\). Значит, подходит только \(t = 3\): \(x^2 - 3x + 11 = 9\); \(x^2 - 3x + 2 = 0\); \(x = 1\) или \(x = 2\).
3) Подкоренное выражение \(2x^2 - 6x + 40 = 2\left(x - \frac{3}{2}\right)^2 + 35{,}5\) положительно при всех \(x\).
Пусть \(\sqrt{2x^2 - 6x + 40} = t\), \(t \geqslant 0\). Тогда \(2x^2 - 6x = t^2 - 40\), откуда \(x^2 - 3x = \frac{t^2 - 40}{2}\), и правая часть уравнения равна \(\frac{t^2 - 40}{2} + 8 = \frac{t^2 - 24}{2}\).
Данное уравнение принимает вид \(t = \frac{t^2 - 24}{2}\); \(2t = t^2 - 24\); \(t^2 - 2t - 24 = 0\); \(t = 6\) или \(t = -4\).
Левая часть данного уравнения неотрицательна, поэтому неотрицательна и правая; это то же условие \(t \geqslant 0\). Значит, подходит только \(t = 6\): \(2x^2 - 6x + 40 = 36\); \(2x^2 - 6x + 4 = 0\); \(x^2 - 3x + 2 = 0\); \(x = 1\) или \(x = 2\).
4) Уравнение имеет смысл при \(x^2 + 2x - 15 \geqslant 0\), то есть при \(x \leqslant -5\) или \(x \geqslant 3\).
Пусть \(\sqrt{x^2 + 2x - 15} = t\), \(t \geqslant 0\). Тогда \(x^2 + 2x = t^2 + 15\), поэтому \(5x^2 + 10x = 5t^2 + 75\), и данное уравнение принимает вид \(5t^2 + 75 + t = 123\); \(5t^2 + t - 48 = 0\).
\(D = 1 + 960 = 961\); \(t = \frac{-1 \pm 31}{10}\), то есть \(t = 3\) или \(t = -3{,}2\).
Так как \(t \geqslant 0\), то подходит только \(t = 3\): \(x^2 + 2x - 15 = 9\); \(x^2 + 2x - 24 = 0\); \(x = -6\) или \(x = 4\). Оба значения принадлежат области определения уравнения.
Ответ: 1) \(-1\); 5; 2) 1; 2; 3) 1; 2; 4) \(-6\); 4.
