Страница 120 номер 15.3, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Решите уравнение, используя метод замены переменной: 1) \(\sqrt{x^2 - 3x + 5} + x^2 = 3x + 7\); 2) \(\sqrt{3x^2 - 9x - 26} = 12 + 3x - x^2\); 3) \(2x^2 + 6x - 3\sqrt{x^2 + 3x - 3} = 5\); 4) \(\sqrt{x\sqrt[5]{x}} + \sqrt[5]{x\sqrt{x}} = 72\).
1) \(x^2 - 3x + 5 = \left(x - \frac{3}{2}\right)^2 + 2{,}75 > 0\) при всех \(x\).
Пусть \(\sqrt{x^2 - 3x + 5} = t\), \(t \geqslant 0\); тогда \(x^2 - 3x = t^2 - 5\) и \(t + t^2 - 5 - 7 = 0\); \(t^2 + t - 12 = 0\); \(t = 3\) или \(t = -4\).
Условию \(t \geqslant 0\) отвечает только \(t = 3\): \(x^2 - 3x + 5 = 9\); \(x^2 - 3x - 4 = 0\); \(x = -1\) или \(x = 4\).
2) ОДЗ: \(3x^2 - 9x - 26 \geqslant 0\).
Пусть \(\sqrt{3x^2 - 9x - 26} = t\), \(t \geqslant 0\); тогда \(x^2 - 3x = \frac{t^2 + 26}{3}\), правая часть равна \(12 - \frac{t^2 + 26}{3}\) и \(t = 12 - \frac{t^2 + 26}{3}\); \(3t = 36 - t^2 - 26\); \(t^2 + 3t - 10 = 0\); \(t = 2\) или \(t = -5\).
Условию \(t \geqslant 0\) отвечает только \(t = 2\): \(3x^2 - 9x - 26 = 4\); \(3x^2 - 9x - 30 = 0\); \(x^2 - 3x - 10 = 0\); \(x = -2\) или \(x = 5\).
3) ОДЗ: \(x^2 + 3x - 3 \geqslant 0\).
Пусть \(\sqrt{x^2 + 3x - 3} = t\), \(t \geqslant 0\); тогда \(2x^2 + 6x = 2t^2 + 6\) и \(2t^2 + 6 - 3t = 5\); \(2t^2 - 3t + 1 = 0\); \(t = 1\) или \(t = \frac{1}{2}\) — оба значения неотрицательны.
\[\left[\begin{array}{l} x^2 + 3x - 3 = 1, \\ x^2 + 3x - 3 = \frac{1}{4}. \end{array}\right.\]
Из первого уравнения: \(x^2 + 3x - 4 = 0\); \(x = -4\) или \(x = 1\).
Из второго: \(4x^2 + 12x - 13 = 0\); \(D = 144 + 208 = 352\); \(\sqrt{352} = 4\sqrt{22}\); \(x = \frac{-12 \pm 4\sqrt{22}}{8} = \frac{-3 \pm \sqrt{22}}{2}\).
4) ОДЗ: \(x \geqslant 0\). При таких \(x\) имеем \(\sqrt{x\sqrt[5]{x}} = \sqrt[10]{x^6}\) и \(\sqrt[5]{x\sqrt{x}} = \sqrt[10]{x^3}\), поэтому уравнение принимает вид \(\sqrt[10]{x^6} + \sqrt[10]{x^3} = 72\).
Пусть \(\sqrt[10]{x^3} = t\), \(t \geqslant 0\); тогда \(t^2 = \sqrt[10]{x^6}\) и \(t^2 + t = 72\); \(t^2 + t - 72 = 0\); \(t = 8\) или \(t = -9\).
Условию \(t \geqslant 0\) отвечает только \(t = 8\): \(\sqrt[10]{x^3} = 8\); \(x^3 = 8^{10} = 2^{30}\); \(x = 2^{10} = 1024\).
Ответ: 1) \(-1\); 4; 2) \(-2\); 5; 3) \(-4\); 1; \(\frac{-3 \pm \sqrt{22}}{2}\); 4) 1024.
Решите уравнение, используя метод замены переменной: 1) \(\sqrt{x^2 - 3x + 5} + x^2 = 3x + 7\); 2) \(\sqrt{3x^2 - 9x - 26} = 12 + 3x - x^2\); 3) \(2x^2 + 6x - 3\sqrt{x^2 + 3x - 3} = 5\); 4) \(\sqrt{x\sqrt[5]{x}} + \sqrt[5]{x\sqrt{x}} = 72\).
1) Запишем уравнение в виде \(\sqrt{x^2 - 3x + 5} + x^2 - 3x - 7 = 0\). Подкоренное выражение \(x^2 - 3x + 5 = \left(x - \frac{3}{2}\right)^2 + 2{,}75\) положительно при всех \(x\).
Пусть \(\sqrt{x^2 - 3x + 5} = t\), \(t \geqslant 0\). Тогда \(x^2 - 3x = t^2 - 5\) и данное уравнение принимает вид \(t + t^2 - 5 - 7 = 0\); \(t^2 + t - 12 = 0\); \(t = 3\) или \(t = -4\).
Так как \(t \geqslant 0\), то подходит только \(t = 3\): \(x^2 - 3x + 5 = 9\); \(x^2 - 3x - 4 = 0\); \(x = -1\) или \(x = 4\).
2) Уравнение имеет смысл при \(3x^2 - 9x - 26 \geqslant 0\).
Пусть \(\sqrt{3x^2 - 9x - 26} = t\), \(t \geqslant 0\). Тогда \(3x^2 - 9x = t^2 + 26\), откуда \(x^2 - 3x = \frac{t^2 + 26}{3}\), и правая часть уравнения равна \(12 - \left(x^2 - 3x\right) = 12 - \frac{t^2 + 26}{3}\).
Данное уравнение принимает вид \(t = 12 - \frac{t^2 + 26}{3}\); \(3t = 36 - t^2 - 26\); \(t^2 + 3t - 10 = 0\); \(t = 2\) или \(t = -5\).
Так как \(t \geqslant 0\), то подходит только \(t = 2\): \(3x^2 - 9x - 26 = 4\); \(3x^2 - 9x - 30 = 0\); \(x^2 - 3x - 10 = 0\); \(x = -2\) или \(x = 5\).
3) Уравнение имеет смысл при \(x^2 + 3x - 3 \geqslant 0\).
Пусть \(\sqrt{x^2 + 3x - 3} = t\), \(t \geqslant 0\). Тогда \(x^2 + 3x = t^2 + 3\), поэтому \(2x^2 + 6x = 2t^2 + 6\), и данное уравнение принимает вид \(2t^2 + 6 - 3t = 5\); \(2t^2 - 3t + 1 = 0\); \(t = 1\) или \(t = \frac{1}{2}\).
Оба значения неотрицательны, поэтому получаем совокупность:
\[\begin{gathered} \left[\begin{array}{l} \sqrt{x^2 + 3x - 3} = 1, \\ \sqrt{x^2 + 3x - 3} = \frac{1}{2}; \end{array}\right. \\ \left[\begin{array}{l} x^2 + 3x - 3 = 1, \\ x^2 + 3x - 3 = \frac{1}{4}. \end{array}\right. \end{gathered}\]
Из первого уравнения совокупности: \(x^2 + 3x - 4 = 0\); \(x = -4\) или \(x = 1\).
Из второго: \(4x^2 + 12x - 13 = 0\); \(D = 144 + 208 = 352\); \(\sqrt{352} = 4\sqrt{22}\); \(x = \frac{-12 \pm 4\sqrt{22}}{8} = \frac{-3 \pm \sqrt{22}}{2}\).
4) Уравнение имеет смысл при \(x \geqslant 0\). При таких \(x\) имеем \(x\sqrt[5]{x} = \sqrt[5]{x^5} \cdot \sqrt[5]{x} = \sqrt[5]{x^6}\), поэтому \(\sqrt{x\sqrt[5]{x}} = \sqrt{\sqrt[5]{x^6}} = \sqrt[10]{x^6}\). Точно так же \(x\sqrt{x} = \sqrt{x^2} \cdot \sqrt{x} = \sqrt{x^3}\) и \(\sqrt[5]{x\sqrt{x}} = \sqrt[5]{\sqrt{x^3}} = \sqrt[10]{x^3}\). Уравнение принимает вид \(\sqrt[10]{x^6} + \sqrt[10]{x^3} = 72\).
Пусть \(\sqrt[10]{x^3} = t\), \(t \geqslant 0\). Тогда \(t^2 = \sqrt[10]{x^6}\) и уравнение принимает вид \(t^2 + t = 72\); \(t^2 + t - 72 = 0\); \(t = 8\) или \(t = -9\).
Так как \(t \geqslant 0\), то подходит только \(t = 8\): \(\sqrt[10]{x^3} = 8\); \(x^3 = 8^{10}\); \(x^3 = 2^{30}\); \(x = 2^{10} = 1024\).
Ответ: 1) \(-1\); 4; 2) \(-2\); 5; 3) \(-4\); 1; \(\frac{-3 \pm \sqrt{22}}{2}\); 4) 1024.
