Страница 120 номер 15.2, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Решите уравнение, используя метод замены переменной: 1) \(\sqrt{x + 5} - 3\sqrt[4]{x + 5} + 2 = 0\); 2) \(\sqrt[6]{9 - 6x + x^2} + 2\sqrt[6]{3 - x} - 8 = 0\); 3) \(x^2 - x + \sqrt{x^2 - x + 4} = 2\); 4) \(\sqrt{\frac{3x + 2}{2x - 3}} + \sqrt{\frac{2x - 3}{3x + 2}} = 2{,}5\).
1) ОДЗ: \(x + 5 \geqslant 0\), то есть \(x \geqslant -5\).
Пусть \(\sqrt[4]{x + 5} = t\), \(t \geqslant 0\); тогда \(t^2 = \sqrt{x + 5}\) и \(t^2 - 3t + 2 = 0\); \(t = 1\) или \(t = 2\) — оба значения неотрицательны.
\[\begin{gathered} \left[\begin{array}{l} \sqrt[4]{x + 5} = 1, \\ \sqrt[4]{x + 5} = 2; \end{array}\right. \\ \left[\begin{array}{l} x + 5 = 1, \\ x + 5 = 16; \end{array}\right. \\ \left[\begin{array}{l} x = -4, \\ x = 11. \end{array}\right. \end{gathered}\]
2) ОДЗ: \(3 - x \geqslant 0\), то есть \(x \leqslant 3\); при таких \(x\) имеем \(9 - 6x + x^2 = (3 - x)^2\) и \(\sqrt[6]{(3 - x)^2} = \left(\sqrt[6]{3 - x}\right)^2\).
Пусть \(\sqrt[6]{3 - x} = t\), \(t \geqslant 0\). Тогда \(t^2 + 2t - 8 = 0\); \(t = 2\) или \(t = -4\).
Условию \(t \geqslant 0\) отвечает только \(t = 2\): \(\sqrt[6]{3 - x} = 2\); \(3 - x = 64\); \(x = -61\), условие \(x \leqslant 3\) выполняется.
3) \(x^2 - x + 4 = \left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + 3{,}75 > 0\) при всех \(x\), поэтому уравнение определено на множестве \(\mathbf{R}\).
Пусть \(\sqrt{x^2 - x + 4} = t\), \(t \geqslant 0\); тогда \(x^2 - x = t^2 - 4\) и \(t^2 - 4 + t = 2\); \(t^2 + t - 6 = 0\); \(t = 2\) или \(t = -3\).
Условию \(t \geqslant 0\) отвечает только \(t = 2\): \(x^2 - x + 4 = 4\); \(x^2 - x = 0\); \(x = 0\) или \(x = 1\).
4) Подкоренные выражения — взаимно обратные дроби, поэтому ОДЗ: \(\frac{3x + 2}{2x - 3} > 0\), то есть \(x < -\frac{2}{3}\) или \(x > \frac{3}{2}\).
Пусть \(\sqrt{\frac{3x + 2}{2x - 3}} = t\), \(t > 0\); тогда \(\sqrt{\frac{2x - 3}{3x + 2}} = \frac{1}{t}\) и \(t + \frac{1}{t} = 2{,}5\); \(2t^2 - 5t + 2 = 0\); \(t = 2\) или \(t = \frac{1}{2}\) — оба значения положительны.
\[\begin{gathered} \left[\begin{array}{l} \frac{3x + 2}{2x - 3} = 4, \\ \frac{3x + 2}{2x - 3} = \frac{1}{4}; \end{array}\right. \\ \left[\begin{array}{l} 3x + 2 = 8x - 12, \\ 12x + 8 = 2x - 3; \end{array}\right. \\ \left[\begin{array}{l} x = 2{,}8, \\ x = -1{,}1. \end{array}\right. \end{gathered}\]
Оба значения принадлежат области определения: \(2{,}8 > \frac{3}{2}\) и \(-1{,}1 < -\frac{2}{3}\).
Ответ: 1) \(-4\); 11; 2) \(-61\); 3) 0; 1; 4) \(2{,}8\); \(-1{,}1\).
Решите уравнение, используя метод замены переменной: 1) \(\sqrt{x + 5} - 3\sqrt[4]{x + 5} + 2 = 0\); 2) \(\sqrt[6]{9 - 6x + x^2} + 2\sqrt[6]{3 - x} - 8 = 0\); 3) \(x^2 - x + \sqrt{x^2 - x + 4} = 2\); 4) \(\sqrt{\frac{3x + 2}{2x - 3}} + \sqrt{\frac{2x - 3}{3x + 2}} = 2{,}5\).
1) Уравнение имеет смысл при \(x + 5 \geqslant 0\), то есть при \(x \geqslant -5\).
Пусть \(\sqrt[4]{x + 5} = t\), \(t \geqslant 0\). Тогда \(t^2 = \sqrt[4]{(x + 5)^2} = \sqrt{x + 5}\), и данное уравнение принимает вид \(t^2 - 3t + 2 = 0\). Отсюда \(t = 1\) или \(t = 2\); оба значения неотрицательны.
Получаем совокупность:
\[\begin{gathered} \left[\begin{array}{l} \sqrt[4]{x + 5} = 1, \\ \sqrt[4]{x + 5} = 2; \end{array}\right. \\ \left[\begin{array}{l} x + 5 = 1, \\ x + 5 = 16; \end{array}\right. \\ \left[\begin{array}{l} x = -4, \\ x = 11. \end{array}\right. \end{gathered}\]
2) Корень шестой степени определён только при неотрицательном подкоренном выражении, поэтому уравнение имеет смысл при \(3 - x \geqslant 0\), то есть при \(x \leqslant 3\). При таких \(x\) имеем \(9 - 6x + x^2 = (3 - x)^2\) и \(\sqrt[6]{(3 - x)^2} = \left(\sqrt[6]{3 - x}\right)^2\).
Пусть \(\sqrt[6]{3 - x} = t\), \(t \geqslant 0\). Тогда данное уравнение принимает вид \(t^2 + 2t - 8 = 0\); \(t = 2\) или \(t = -4\).
Так как \(t \geqslant 0\), то подходит только \(t = 2\). Следовательно, данное уравнение равносильно такому: \(\sqrt[6]{3 - x} = 2\). Отсюда \(3 - x = 64\); \(x = -61\). Условие \(x \leqslant 3\) выполняется.
3) Так как \(x^2 - x + 4 = \left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + 3{,}75 > 0\) при всех \(x\), уравнение определено на множестве \(\mathbf{R}\).
Пусть \(\sqrt{x^2 - x + 4} = t\), \(t \geqslant 0\). Тогда \(x^2 - x = t^2 - 4\) и данное уравнение принимает вид \(t^2 - 4 + t = 2\); \(t^2 + t - 6 = 0\); \(t = 2\) или \(t = -3\).
Так как \(t \geqslant 0\), то подходит только \(t = 2\): \(\sqrt{x^2 - x + 4} = 2\); \(x^2 - x + 4 = 4\); \(x^2 - x = 0\); \(x = 0\) или \(x = 1\).
4) Подкоренные выражения — взаимно обратные дроби, поэтому уравнение имеет смысл при \(\frac{3x + 2}{2x - 3} > 0\), то есть при \(x < -\frac{2}{3}\) или \(x > \frac{3}{2}\).
Пусть \(\sqrt{\frac{3x + 2}{2x - 3}} = t\), \(t > 0\). Тогда \(\sqrt{\frac{2x - 3}{3x + 2}} = \frac{1}{t}\), и данное уравнение принимает вид \(t + \frac{1}{t} = 2{,}5\); \(2t^2 - 5t + 2 = 0\); \(t = 2\) или \(t = \frac{1}{2}\).
Оба значения положительны, поэтому получаем совокупность:
\[\begin{gathered} \left[\begin{array}{l} \frac{3x + 2}{2x - 3} = 4, \\ \frac{3x + 2}{2x - 3} = \frac{1}{4}; \end{array}\right. \\ \left[\begin{array}{l} 3x + 2 = 8x - 12, \\ 12x + 8 = 2x - 3; \end{array}\right. \\ \left[\begin{array}{l} x = 2{,}8, \\ x = -1{,}1. \end{array}\right. \end{gathered}\]
Оба значения принадлежат области определения уравнения: \(2{,}8 > \frac{3}{2}\) и \(-1{,}1 < -\frac{2}{3}\).
Ответ: 1) \(-4\); 11; 2) \(-61\); 3) 0; 1; 4) \(2{,}8\); \(-1{,}1\).
