Страница 120 номер 15.1, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа

1) Уравнение имеет смысл при \(x + 1 > 0\), то есть при \(x > -1\).

Пусть \(\sqrt{x + 1} = t\). Так как подкоренное выражение положительно, а \(t\) стоит в знаменателе, то \(t > 0\). Данное уравнение принимает вид \(2t - 5 = \frac{3}{t}\), откуда \(2t^2 - 5t - 3 = 0\).

\(D = 25 + 24 = 49\); \(t = \frac{5 \pm 7}{4}\), то есть \(t = 3\) или \(t = -\frac{1}{2}\).

Так как \(t > 0\), то подходит только \(t = 3\). Следовательно, данное уравнение равносильно такому: \(\sqrt{x + 1} = 3\). Отсюда \(x + 1 = 9\); \(x = 8\).

2) Так как \(x^2 - x + 9 = \left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + 8{,}75 > 0\) при всех \(x\), уравнение определено на множестве \(\mathbf{R}\).

Пусть \(\sqrt{x^2 - x + 9} = t\), \(t \geqslant 0\). Тогда \(x^2 - x + 9 = t^2\) и данное уравнение принимает вид \(t^2 + t = 12\); \(t^2 + t - 12 = 0\); \(t = 3\) или \(t = -4\).

Так как \(t \geqslant 0\), то подходит только \(t = 3\). Следовательно, данное уравнение равносильно такому: \(\sqrt{x^2 - x + 9} = 3\). Отсюда \(x^2 - x + 9 = 9\); \(x^2 - x = 0\); \(x = 0\) или \(x = 1\).

3) Подкоренные выражения — взаимно обратные дроби, поэтому обе они должны быть положительными. Уравнение имеет смысл при \(\frac{x + 5}{x - 1} > 0\), то есть при \(x < -5\) или \(x > 1\).

Пусть \(\sqrt{\frac{x + 5}{x - 1}} = t\), \(t > 0\). Тогда \(\sqrt{\frac{x - 1}{x + 5}} = \frac{1}{t}\), и данное уравнение принимает вид \(t + \frac{7}{t} = 8\); \(t^2 - 8t + 7 = 0\); \(t = 1\) или \(t = 7\).

Оба значения положительны, поэтому получаем совокупность:

\[\begin{gathered} \left[\begin{array}{l} \sqrt{\frac{x + 5}{x - 1}} = 1, \\ \sqrt{\frac{x + 5}{x - 1}} = 7; \end{array}\right. \\ \left[\begin{array}{l} \frac{x + 5}{x - 1} = 1, \\ \frac{x + 5}{x - 1} = 49. \end{array}\right. \end{gathered}\]

Уравнение \(\frac{x + 5}{x - 1} = 1\) равносильно уравнению \(x + 5 = x - 1\) и корней не имеет. Из уравнения \(\frac{x + 5}{x - 1} = 49\) получаем: \(x + 5 = 49x - 49\); \(48x = 54\); \(x = \frac{9}{8}\). Так как \(\frac{9}{8} > 1\), это значение принадлежит области определения уравнения.

4) Корень третьей степени определён при всех значениях \(x\), поэтому уравнение имеет смысл при \(\sqrt[3]{x^2} - 1 \ne 0\) и \(\sqrt[3]{x} + 1 \ne 0\), то есть при \(x \ne 1\) и \(x \ne -1\).

Пусть \(\sqrt[3]{x} = t\). Тогда \(x = t^3\), \(x\sqrt[3]{x} = t^3 \cdot t = t^4\) и \(\sqrt[3]{x^2} = \sqrt[3]{\left(t^2\right)^3} = t^2\), причём \(t \ne 1\) и \(t \ne -1\). Данное уравнение принимает вид:

\[\frac{t^4 - 1}{t^2 - 1} - \frac{t^2 - 1}{t + 1} = 4.\]

Сократим дроби: \(\frac{t^4 - 1}{t^2 - 1} = \frac{\left(t^2 - 1\right)\left(t^2 + 1\right)}{t^2 - 1} = t^2 + 1\) и \(\frac{t^2 - 1}{t + 1} = \frac{(t - 1)(t + 1)}{t + 1} = t - 1\).

Тогда \(t^2 + 1 - (t - 1) = 4\); \(t^2 - t - 2 = 0\); \(t = 2\) или \(t = -1\). Значение \(t = -1\) не подходит, остаётся \(t = 2\): \(\sqrt[3]{x} = 2\); \(x = 8\).

Ответ: 1) 8; 2) 0; 1; 3) \(\frac{9}{8}\); 4) 8.