Страница 121 номер 15.14, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Решите уравнение \(\sqrt[3]{(x + 4)^2} + \sqrt[3]{(x - 5)^2} + \sqrt[3]{(x + 4)(x - 5)} = 3\).
Пусть \(\sqrt[3]{x + 4} = a\), \(\sqrt[3]{x - 5} = b\); тогда \(a^3 - b^3 = (x + 4) - (x - 5) = 9\).
Кубический корень из числа единствен, а \(\left(a^2\right)^3 = (x + 4)^2\), \(\left(b^2\right)^3 = (x - 5)^2\), \((ab)^3 = (x + 4)(x - 5)\), поэтому \(\sqrt[3]{(x + 4)^2} = a^2\), \(\sqrt[3]{(x - 5)^2} = b^2\), \(\sqrt[3]{(x + 4)(x - 5)} = ab\), и уравнение принимает вид \(a^2 + b^2 + ab = 3\).
\[\begin{gathered} \begin{cases} a^2 + ab + b^2 = 3, \\ (a - b)\left(a^2 + ab + b^2\right) = 9; \end{cases} \\ \begin{cases} (a - b)^2 + 3ab = 3, \\ a - b = 3; \end{cases} \\ \begin{cases} ab = -2, \\ a - b = 3. \end{cases} \end{gathered}\]
Подставив \(a = b + 3\): \((b + 3)b = -2\); \(b^2 + 3b + 2 = 0\); \(b = -1\) или \(b = -2\), соответственно \(a = 2\) или \(a = 1\).
\[\begin{gathered} \left[\begin{array}{l} \begin{cases} x + 4 = 1, \\ x - 5 = -8, \end{cases} \\ \begin{cases} x + 4 = 8, \\ x - 5 = -1; \end{cases} \end{array}\right. \\ \left[\begin{array}{l} x = -3, \\ x = 4. \end{array}\right. \end{gathered}\]
Ответ: \(-3\); 4.
Решите уравнение \(\sqrt[3]{(x + 4)^2} + \sqrt[3]{(x - 5)^2} + \sqrt[3]{(x + 4)(x - 5)} = 3\).
Пусть \(\sqrt[3]{x + 4} = a\), \(\sqrt[3]{x - 5} = b\). Тогда \(a^3 = x + 4\) и \(b^3 = x - 5\), откуда \(a^3 - b^3 = (x + 4) - (x - 5) = 9\).
Так как \(\left(a^2\right)^3 = \left(a^3\right)^2 = (x + 4)^2\), \(\left(b^2\right)^3 = \left(b^3\right)^2 = (x - 5)^2\) и \((ab)^3 = a^3b^3 = (x + 4)(x - 5)\), а корень третьей степени из любого числа существует и притом только один, то \(\sqrt[3]{(x + 4)^2} = a^2\), \(\sqrt[3]{(x - 5)^2} = b^2\) и \(\sqrt[3]{(x + 4)(x - 5)} = ab\). Значит, данное уравнение принимает вид \(a^2 + b^2 + ab = 3\). Имеем:
\[\begin{gathered} \begin{cases} a^2 + ab + b^2 = 3, \\ a^3 - b^3 = 9; \end{cases} \\ \begin{cases} a^2 + ab + b^2 = 3, \\ (a - b)\left(a^2 + ab + b^2\right) = 9; \end{cases} \\ \begin{cases} (a - b)^2 + 3ab = 3, \\ a - b = 3; \end{cases} \end{gathered}\] \[\begin{cases} ab = -2, \\ a - b = 3. \end{cases}\]
Подставив \(a = b + 3\) в первое уравнение, получаем \((b + 3)b = -2\); \(b^2 + 3b + 2 = 0\); \(b = -1\) или \(b = -2\). Соответственно \(a = 2\) или \(a = 1\). Теперь можно записать:
\[\begin{gathered} \left[\begin{array}{l} \begin{cases} \sqrt[3]{x + 4} = 1, \\ \sqrt[3]{x - 5} = -2, \end{cases} \\ \begin{cases} \sqrt[3]{x + 4} = 2, \\ \sqrt[3]{x - 5} = -1; \end{cases} \end{array}\right. \\ \left[\begin{array}{l} \begin{cases} x + 4 = 1, \\ x - 5 = -8, \end{cases} \\ \begin{cases} x + 4 = 8, \\ x - 5 = -1; \end{cases} \end{array}\right. \\ \left[\begin{array}{l} x = -3, \\ x = 4. \end{array}\right. \end{gathered}\]
Ответ: \(-3\); 4.
