Страница 121 номер 15.13, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Решите уравнение \(\sqrt[3]{(x + 3)^2} + \sqrt[3]{(6 - x)^2} - \sqrt[3]{(x + 3)(6 - x)} = 3\).
Пусть \(\sqrt[3]{x + 3} = a\), \(\sqrt[3]{6 - x} = b\); тогда \(a^3 + b^3 = (x + 3) + (6 - x) = 9\).
Кубический корень из числа единствен, а \(\left(a^2\right)^3 = (x + 3)^2\), \(\left(b^2\right)^3 = (6 - x)^2\), \((ab)^3 = (x + 3)(6 - x)\), поэтому \(\sqrt[3]{(x + 3)^2} = a^2\), \(\sqrt[3]{(6 - x)^2} = b^2\), \(\sqrt[3]{(x + 3)(6 - x)} = ab\), и уравнение принимает вид \(a^2 + b^2 - ab = 3\).
\[\begin{gathered} \begin{cases} a^2 + b^2 - ab = 3, \\ (a + b)\left(a^2 - ab + b^2\right) = 9; \end{cases} \\ \begin{cases} (a + b)^2 - 3ab = 3, \\ a + b = 3; \end{cases} \\ \begin{cases} ab = 2, \\ a + b = 3; \end{cases} \\ \left[\begin{array}{l} \begin{cases} a = 1, \\ b = 2, \end{cases} \\ \begin{cases} a = 2, \\ b = 1. \end{cases} \end{array}\right. \end{gathered}\] \[\begin{gathered} \left[\begin{array}{l} \begin{cases} x + 3 = 1, \\ 6 - x = 8, \end{cases} \\ \begin{cases} x + 3 = 8, \\ 6 - x = 1; \end{cases} \end{array}\right. \\ \left[\begin{array}{l} x = -2, \\ x = 5. \end{array}\right. \end{gathered}\]
Ответ: \(-2\); 5.
Решите уравнение \(\sqrt[3]{(x + 3)^2} + \sqrt[3]{(6 - x)^2} - \sqrt[3]{(x + 3)(6 - x)} = 3\).
Пусть \(\sqrt[3]{x + 3} = a\), \(\sqrt[3]{6 - x} = b\). Тогда \(a^3 = x + 3\) и \(b^3 = 6 - x\), откуда \(a^3 + b^3 = (x + 3) + (6 - x) = 9\).
Так как \(\left(a^2\right)^3 = \left(a^3\right)^2 = (x + 3)^2\), \(\left(b^2\right)^3 = \left(b^3\right)^2 = (6 - x)^2\) и \((ab)^3 = a^3b^3 = (x + 3)(6 - x)\), а корень третьей степени из любого числа существует и притом только один, то \(\sqrt[3]{(x + 3)^2} = a^2\), \(\sqrt[3]{(6 - x)^2} = b^2\) и \(\sqrt[3]{(x + 3)(6 - x)} = ab\). Значит, данное уравнение принимает вид \(a^2 + b^2 - ab = 3\). Имеем:
\[\begin{gathered} \begin{cases} a^2 + b^2 - ab = 3, \\ a^3 + b^3 = 9; \end{cases} \\ \begin{cases} a^2 + b^2 - ab = 3, \\ (a + b)\left(a^2 - ab + b^2\right) = 9; \end{cases} \\ \begin{cases} (a + b)^2 - 3ab = 3, \\ a + b = 3; \end{cases} \end{gathered}\] \[\begin{gathered} \begin{cases} ab = 2, \\ a + b = 3; \end{cases} \\ \left[\begin{array}{l} \begin{cases} a = 1, \\ b = 2, \end{cases} \\ \begin{cases} a = 2, \\ b = 1. \end{cases} \end{array}\right. \end{gathered}\]
Теперь можно записать:
\[\begin{gathered} \left[\begin{array}{l} \begin{cases} \sqrt[3]{x + 3} = 1, \\ \sqrt[3]{6 - x} = 2, \end{cases} \\ \begin{cases} \sqrt[3]{x + 3} = 2, \\ \sqrt[3]{6 - x} = 1; \end{cases} \end{array}\right. \\ \left[\begin{array}{l} \begin{cases} x + 3 = 1, \\ 6 - x = 8, \end{cases} \\ \begin{cases} x + 3 = 8, \\ 6 - x = 1; \end{cases} \end{array}\right. \\ \left[\begin{array}{l} x = -2, \\ x = 5. \end{array}\right. \end{gathered}\]
Ответ: \(-2\); 5.
