Страница 121 номер 15.12, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Решите уравнение \(6x^2 - 5x\sqrt{x + 3} + x + 3 = 0\).
ОДЗ: \(x + 3 \geqslant 0\), то есть \(x \geqslant -3\).
Число 0 не корень: при \(x = 0\) левая часть равна 3. Поэтому деление обеих частей на \(x^2\) даёт равносильное уравнение:
\[6 - \frac{5\sqrt{x + 3}}{x} + \frac{x + 3}{x^2} = 0.\]
Пусть \(\frac{\sqrt{x + 3}}{x} = t\); тогда \(\frac{x + 3}{x^2} = t^2\) и \(t^2 - 5t + 6 = 0\); \(t = 2\) или \(t = 3\).
\[\begin{gathered} \left[\begin{array}{l} \frac{\sqrt{x + 3}}{x} = 2, \\ \frac{\sqrt{x + 3}}{x} = 3; \end{array}\right. \\ \left[\begin{array}{l} \begin{cases} x > 0, \\ x + 3 = 4x^2, \end{cases} \\ \begin{cases} x > 0, \\ x + 3 = 9x^2. \end{cases} \end{array}\right. \end{gathered}\]
Из первой системы: \(4x^2 - x - 3 = 0\); \(D = 1 + 48 = 49\); \(x = \frac{1 \pm 7}{8}\), то есть \(x = 1\) или \(x = -\frac{3}{4}\); условию \(x > 0\) удовлетворяет только \(x = 1\).
Из второй: \(9x^2 - x - 3 = 0\); \(D = 1 + 108 = 109\); \(x = \frac{1 \pm \sqrt{109}}{18}\); условию \(x > 0\) удовлетворяет только \(x = \frac{1 + \sqrt{109}}{18}\).
Оба найденных числа принадлежат области определения: из равенств \(x + 3 = 4x^2\) и \(x + 3 = 9x^2\) следует, что \(x + 3 \geqslant 0\).
Ответ: 1; \(\frac{1 + \sqrt{109}}{18}\).
Решите уравнение \(6x^2 - 5x\sqrt{x + 3} + x + 3 = 0\).
Уравнение имеет смысл при \(x + 3 \geqslant 0\), то есть при \(x \geqslant -3\).
Число 0 не является корнем данного уравнения: при \(x = 0\) левая часть равна 3. Поэтому уравнение, полученное делением обеих частей на \(x^2\), равносильно данному:
\[6 - \frac{5\sqrt{x + 3}}{x} + \frac{x + 3}{x^2} = 0.\]
Пусть \(\frac{\sqrt{x + 3}}{x} = t\); тогда \(\frac{x + 3}{x^2} = t^2\), и уравнение принимает вид \(t^2 - 5t + 6 = 0\). Отсюда \(t = 2\) или \(t = 3\). Имеем:
\[\begin{gathered} \left[\begin{array}{l} \frac{\sqrt{x + 3}}{x} = 2, \\ \frac{\sqrt{x + 3}}{x} = 3; \end{array}\right. \\ \left[\begin{array}{l} \begin{cases} x > 0, \\ x + 3 = 4x^2, \end{cases} \\ \begin{cases} x > 0, \\ x + 3 = 9x^2. \end{cases} \end{array}\right. \end{gathered}\]
Из первой системы: \(4x^2 - x - 3 = 0\); \(D = 1 + 48 = 49\); \(x = \frac{1 \pm 7}{8}\), то есть \(x = 1\) или \(x = -\frac{3}{4}\). Условию \(x > 0\) удовлетворяет только \(x = 1\).
Из второй системы: \(9x^2 - x - 3 = 0\); \(D = 1 + 108 = 109\); \(x = \frac{1 \pm \sqrt{109}}{18}\). Условию \(x > 0\) удовлетворяет только \(x = \frac{1 + \sqrt{109}}{18}\).
Оба найденных числа принадлежат области определения уравнения: из равенств \(x + 3 = 4x^2\) и \(x + 3 = 9x^2\) следует, что \(x + 3 \geqslant 0\).
Ответ: 1; \(\frac{1 + \sqrt{109}}{18}\).
