Страница 121 номер 15.11, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Решите уравнение \(4x^2 + 12x\sqrt{1 + x} = 27(1 + x)\).
ОДЗ: \(1 + x \geqslant 0\), то есть \(x \geqslant -1\).
Число 0 не корень: при \(x = 0\) левая часть равна 0, а правая — 27. Поэтому деление обеих частей на \(x^2\) даёт равносильное уравнение:
\[4 + \frac{12\sqrt{1 + x}}{x} = \frac{27(1 + x)}{x^2}.\]
Пусть \(\frac{\sqrt{1 + x}}{x} = t\); тогда \(\frac{1 + x}{x^2} = t^2\) и \(4 + 12t = 27t^2\); \(27t^2 - 12t - 4 = 0\); \(D = 144 + 432 = 576\); \(t = \frac{12 \pm 24}{54}\), то есть \(t = \frac{2}{3}\) или \(t = -\frac{2}{9}\).
\[\begin{gathered} \left[\begin{array}{l} \frac{\sqrt{1 + x}}{x} = \frac{2}{3}, \\ \frac{\sqrt{1 + x}}{x} = -\frac{2}{9}; \end{array}\right. \\ \left[\begin{array}{l} \begin{cases} x > 0, \\ 9(1 + x) = 4x^2, \end{cases} \\ \begin{cases} x < 0, \\ 81(1 + x) = 4x^2. \end{cases} \end{array}\right. \end{gathered}\]
Из первой системы: \(4x^2 - 9x - 9 = 0\); \(D = 81 + 144 = 225\); \(x = \frac{9 \pm 15}{8}\), то есть \(x = 3\) или \(x = -\frac{3}{4}\); условию \(x > 0\) удовлетворяет только \(x = 3\).
Из второй: \(4x^2 - 81x - 81 = 0\); \(D = 6561 + 1296 = 7857 = 81 \cdot 97\); \(\sqrt{D} = 9\sqrt{97}\); \(x = \frac{81 \pm 9\sqrt{97}}{8}\). Так как \(\sqrt{97} > 9\), условию \(x < 0\) удовлетворяет только \(x = \frac{81 - 9\sqrt{97}}{8}\).
Оба найденных числа принадлежат области определения: из равенств \(9(1 + x) = 4x^2\) и \(81(1 + x) = 4x^2\) следует, что \(1 + x \geqslant 0\).
Ответ: 3; \(\frac{81 - 9\sqrt{97}}{8}\).
Решите уравнение \(4x^2 + 12x\sqrt{1 + x} = 27(1 + x)\).
Уравнение имеет смысл при \(1 + x \geqslant 0\), то есть при \(x \geqslant -1\).
Число 0 не является корнем данного уравнения: при \(x = 0\) левая часть равна 0, а правая — 27. Поэтому уравнение, полученное делением обеих частей на \(x^2\), равносильно данному:
\[4 + \frac{12\sqrt{1 + x}}{x} = \frac{27(1 + x)}{x^2}.\]
Пусть \(\frac{\sqrt{1 + x}}{x} = t\); тогда \(\frac{1 + x}{x^2} = t^2\), и уравнение принимает вид \(4 + 12t = 27t^2\); \(27t^2 - 12t - 4 = 0\).
\(D = 144 + 432 = 576\); \(t = \frac{12 \pm 24}{54}\), то есть \(t = \frac{2}{3}\) или \(t = -\frac{2}{9}\). Имеем:
\[\begin{gathered} \left[\begin{array}{l} \frac{\sqrt{1 + x}}{x} = \frac{2}{3}, \\ \frac{\sqrt{1 + x}}{x} = -\frac{2}{9}; \end{array}\right. \\ \left[\begin{array}{l} \begin{cases} x > 0, \\ 9(1 + x) = 4x^2, \end{cases} \\ \begin{cases} x < 0, \\ 81(1 + x) = 4x^2. \end{cases} \end{array}\right. \end{gathered}\]
Из первой системы: \(4x^2 - 9x - 9 = 0\); \(D = 81 + 144 = 225\); \(x = \frac{9 \pm 15}{8}\), то есть \(x = 3\) или \(x = -\frac{3}{4}\). Условию \(x > 0\) удовлетворяет только \(x = 3\).
Из второй системы: \(4x^2 - 81x - 81 = 0\); \(D = 6561 + 1296 = 7857 = 81 \cdot 97\); \(\sqrt{D} = 9\sqrt{97}\); \(x = \frac{81 \pm 9\sqrt{97}}{8}\). Так как \(\sqrt{97} > 9\), число \(\frac{81 - 9\sqrt{97}}{8}\) отрицательно, а число \(\frac{81 + 9\sqrt{97}}{8}\) положительно. Условию \(x < 0\) удовлетворяет только \(x = \frac{81 - 9\sqrt{97}}{8}\).
Оба найденных числа принадлежат области определения уравнения: из равенств \(9(1 + x) = 4x^2\) и \(81(1 + x) = 4x^2\) следует, что \(1 + x \geqslant 0\).
Ответ: 3; \(\frac{81 - 9\sqrt{97}}{8}\).
