Страница 118 номер 14.21, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
При каких значениях параметра \(a\) уравнение \(\sqrt{4x - x^2 - 3} = x - a\) имеет единственное решение?
Уравнение \(\sqrt{4x - x^2 - 3} = x - a\) равносильно системе
\[\begin{cases} 4x - x^2 - 3 = (x - a)^2, \\ x - a \geqslant 0. \end{cases}\]
Первое уравнение системы:
\[\begin{gathered} 4x - x^2 - 3 = x^2 - 2ax + a^2; \\ 2x^2 - 2(a + 2)x + a^2 + 3 = 0. \end{gathered}\]
Каждый его корень удовлетворяет равенству \((x - a)^2 = 4x - x^2 - 3 \geqslant 0\), откуда \(x^2 - 4x + 3 \leqslant 0\) и \(1 \leqslant x \leqslant 3\). Значит, все корни лежат на промежутке \([1;\ 3]\), и остаётся отобрать те из них, для которых \(x \geqslant a\).
Обозначим \(g(x) = 2x^2 - 2(a + 2)x + a^2 + 3\):
\[\frac{D}{4} = (a + 2)^2 - 2\left(a^2 + 3\right) = -a^2 + 4a - 2.\]
Неравенство \(D \geqslant 0\) равносильно неравенству \(a^2 - 4a + 2 \leqslant 0\), то есть \(2 - \sqrt{2} \leqslant a \leqslant 2 + \sqrt{2}\); при остальных значениях параметра корней нет.
\[g(a) = 2a^2 - 2(a + 2)a + a^2 + 3 = a^2 - 4a + 3 = (a - 1)(a - 3).\]
Если \(1 < a < 3\), то \(g(a) < 0\); старший коэффициент положителен, поэтому число \(a\) лежит между корнями: ровно один корень больше \(a\) — единственное решение.
Если \(a = 1\): \(x^2 - 3x + 2 = 0\); \(x = 1\) или \(x = 2\). Условию \(x \geqslant 1\) удовлетворяют оба — решений два, такое значение параметра не подходит.
Если \(a = 3\): \(x^2 - 5x + 6 = 0\); \(x = 2\) или \(x = 3\). Условию \(x \geqslant 3\) удовлетворяет только \(x = 3\) — единственное решение.
Если \(a < 1\) или \(a > 3\), то \(g(a) > 0\) и оба корня (когда они есть) лежат по одну сторону от числа \(a\). Абсцисса вершины параболы \(x_0 = \frac{a + 2}{2}\), причём неравенство \(x_0 > a\) равносильно неравенству \(a + 2 > 2a\), то есть \(a < 2\).
Значит, при \(2 - \sqrt{2} < a < 1\) оба корня больше \(a\) — решений два. При \(a = 2 - \sqrt{2}\) дискриминант равен нулю, корень один: \(x = \frac{a + 2}{2} = \frac{4 - \sqrt{2}}{2}\), и он больше \(a\) — единственное решение. При \(3 < a \leqslant 2 + \sqrt{2}\) оба корня меньше \(a\) — решений нет.
Ответ: \(a = 2 - \sqrt{2}\) или \(1 < a \leqslant 3\).
При каких значениях параметра \(a\) уравнение \(\sqrt{4x - x^2 - 3} = x - a\) имеет единственное решение?
Уравнение \(\sqrt{4x - x^2 - 3} = x - a\) равносильно системе
\[\begin{cases} 4x - x^2 - 3 = (x - a)^2, \\ x - a \geqslant 0. \end{cases}\]
Первое уравнение системы приводится к квадратному:
\[\begin{gathered} 4x - x^2 - 3 = x^2 - 2ax + a^2; \\ 2x^2 - 2(a + 2)x + a^2 + 3 = 0. \end{gathered}\]
Каждый его корень удовлетворяет равенству \((x - a)^2 = 4x - x^2 - 3 \geqslant 0\), откуда \(x^2 - 4x + 3 \leqslant 0\) и \(1 \leqslant x \leqslant 3\). Значит, все корни этого квадратного уравнения лежат на промежутке \([1;\ 3]\), и остаётся отобрать те из них, для которых \(x \geqslant a\).
Обозначим \(g(x) = 2x^2 - 2(a + 2)x + a^2 + 3\). Четверть дискриминанта:
\[\frac{D}{4} = (a + 2)^2 - 2\left(a^2 + 3\right) = -a^2 + 4a - 2.\]
Неравенство \(D \geqslant 0\) равносильно неравенству \(a^2 - 4a + 2 \leqslant 0\), то есть \(2 - \sqrt{2} \leqslant a \leqslant 2 + \sqrt{2}\). При остальных значениях параметра корней нет.
Найдём знак трёхчлена в точке \(x = a\):
\[g(a) = 2a^2 - 2(a + 2)a + a^2 + 3 = a^2 - 4a + 3 = (a - 1)(a - 3).\]
Если \(1 < a < 3\), то \(g(a) < 0\). Старший коэффициент положителен, поэтому число \(a\) лежит между корнями: ровно один корень больше \(a\), и уравнение имеет единственное решение.
Если \(a = 1\), квадратное уравнение принимает вид \(x^2 - 3x + 2 = 0\); его корни \(x = 1\) и \(x = 2\). Условию \(x \geqslant 1\) удовлетворяют оба — решений два, такое значение параметра не подходит.
Если \(a = 3\), квадратное уравнение принимает вид \(x^2 - 5x + 6 = 0\); его корни \(x = 2\) и \(x = 3\). Условию \(x \geqslant 3\) удовлетворяет только \(x = 3\) — единственное решение.
Если \(a < 1\) или \(a > 3\), то \(g(a) > 0\) и оба корня (когда они есть) лежат по одну сторону от числа \(a\). Абсцисса вершины параболы равна \(x_0 = \frac{a + 2}{2}\), причём неравенство \(x_0 > a\) равносильно неравенству \(a + 2 > 2a\), то есть \(a < 2\).
Значит, при \(2 - \sqrt{2} < a < 1\) оба корня больше \(a\) — решений два. При \(a = 2 - \sqrt{2}\) дискриминант равен нулю, корень один: \(x = \frac{a + 2}{2} = \frac{4 - \sqrt{2}}{2}\), и он больше \(a\) — единственное решение. При \(3 < a \leqslant 2 + \sqrt{2}\) оба корня меньше \(a\) — решений нет.
Найденным значениям параметра отвечает такое расположение графика \(y = \sqrt{4x - x^2 - 3}\) и прямых \(y = x - a\):
Ответ: \(a = 2 - \sqrt{2}\) или \(1 < a \leqslant 3\).
