Страница 116 номер 14.9, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Решите уравнение: 1) \(\sqrt{2x + 5} - \sqrt{3x - 5} = 2\); 2) \(\sqrt{x + 11} - \sqrt{2x + 1} = 2\).
1) ОДЗ: \(M = \left[\frac{5}{3};\ +\infty\right)\). Уравнение равносильно уравнению \(\sqrt{2x + 5} = 2 + \sqrt{3x - 5}\); обе части на \(M\) неотрицательны, поэтому
\[2x + 5 = 4 + 4\sqrt{3x - 5} + 3x - 5.\]
Отсюда \(6 - x = 4\sqrt{3x - 5}\). Правая часть неотрицательна, поэтому \(x \leqslant 6\). На множестве \(M_1 = \left[\frac{5}{3};\ 6\right]\) обе части неотрицательны, и уравнение равносильно системе
\[\begin{cases} (6 - x)^2 = 16(3x - 5), \\ \frac{5}{3} \leqslant x \leqslant 6. \end{cases}\]
\(x^2 - 12x + 36 = 48x - 80\); \(x^2 - 60x + 116 = 0\); \(D = 3600 - 464 = 3136\); \(x = \frac{60 \pm 56}{2}\), то есть \(x = 58\) или \(x = 2\). Множеству \(M_1\) принадлежит только \(x = 2\).
2) ОДЗ: \(M = \left[-\frac{1}{2};\ +\infty\right)\). Уравнение равносильно уравнению \(\sqrt{x + 11} = 2 + \sqrt{2x + 1}\); обе части на \(M\) неотрицательны, поэтому
\[x + 11 = 4 + 4\sqrt{2x + 1} + 2x + 1.\]
Отсюда \(6 - x = 4\sqrt{2x + 1}\). Правая часть неотрицательна, поэтому \(x \leqslant 6\). На множестве \(M_1 = \left[-\frac{1}{2};\ 6\right]\) обе части неотрицательны, и уравнение равносильно системе
\[\begin{cases} (6 - x)^2 = 16(2x + 1), \\ -\frac{1}{2} \leqslant x \leqslant 6. \end{cases}\]
\(x^2 - 12x + 36 = 32x + 16\); \(x^2 - 44x + 20 = 0\); \(D = 1936 - 80 = 1856\); \(\sqrt{1856} = 8\sqrt{29}\);
\[x = \frac{44 \pm 8\sqrt{29}}{2} = 22 \pm 4\sqrt{29}.\]
Число \(22 + 4\sqrt{29} > 6\) — не подходит. Для числа \(22 - 4\sqrt{29}\): \(\left(4\sqrt{29}\right)^2 = 464\), \(16^2 = 256\), \(22^2 = 484\), поэтому \(16 < 4\sqrt{29} < 22\) и \(0 < 22 - 4\sqrt{29} < 6\) — это число принадлежит \(M_1\).
Ответ: 1) 2; 2) \(22 - 4\sqrt{29}\).
Решите уравнение: 1) \(\sqrt{2x + 5} - \sqrt{3x - 5} = 2\); 2) \(\sqrt{x + 11} - \sqrt{2x + 1} = 2\).
1) \(\sqrt{2x + 5} - \sqrt{3x - 5} = 2\).
Областью определения уравнения является множество \(M = \left[\frac{5}{3};\ +\infty\right)\). Данное уравнение равносильно уравнению \(\sqrt{2x + 5} = 2 + \sqrt{3x - 5}\); обе его части на \(M\) неотрицательны, поэтому возведём их в квадрат:
\[2x + 5 = 4 + 4\sqrt{3x - 5} + 3x - 5.\]
Отсюда \(6 - x = 4\sqrt{3x - 5}\). Правая часть неотрицательна, поэтому \(6 - x \geqslant 0\), то есть \(x \leqslant 6\). На множестве \(M_1 = \left[\frac{5}{3};\ 6\right]\) обе части неотрицательны, и уравнение равносильно системе
\[\begin{cases} (6 - x)^2 = 16(3x - 5), \\ \frac{5}{3} \leqslant x \leqslant 6. \end{cases}\]
Из первого уравнения \(x^2 - 12x + 36 = 48x - 80\); \(x^2 - 60x + 116 = 0\); \(D = 3600 - 464 = 3136\); \(x = \frac{60 \pm 56}{2}\), то есть \(x = 58\) или \(x = 2\). Множеству \(M_1\) принадлежит только \(x = 2\).
2) \(\sqrt{x + 11} - \sqrt{2x + 1} = 2\).
Областью определения уравнения является множество \(M = \left[-\frac{1}{2};\ +\infty\right)\). Данное уравнение равносильно уравнению \(\sqrt{x + 11} = 2 + \sqrt{2x + 1}\); обе его части на \(M\) неотрицательны, поэтому возведём их в квадрат:
\[x + 11 = 4 + 4\sqrt{2x + 1} + 2x + 1.\]
Отсюда \(6 - x = 4\sqrt{2x + 1}\). Правая часть неотрицательна, поэтому \(x \leqslant 6\). На множестве \(M_1 = \left[-\frac{1}{2};\ 6\right]\) обе части неотрицательны, и уравнение равносильно системе
\[\begin{cases} (6 - x)^2 = 16(2x + 1), \\ -\frac{1}{2} \leqslant x \leqslant 6. \end{cases}\]
Из первого уравнения \(x^2 - 12x + 36 = 32x + 16\); \(x^2 - 44x + 20 = 0\); \(D = 1936 - 80 = 1856\); \(\sqrt{1856} = 8\sqrt{29}\);
\[x = \frac{44 \pm 8\sqrt{29}}{2} = 22 \pm 4\sqrt{29}.\]
Число \(22 + 4\sqrt{29} > 6\) — не подходит. Для числа \(22 - 4\sqrt{29}\) сравним \(4\sqrt{29}\) с числами 16 и 22: \(\left(4\sqrt{29}\right)^2 = 464\), \(16^2 = 256\), \(22^2 = 484\), поэтому \(16 < 4\sqrt{29} < 22\) и \(0 < 22 - 4\sqrt{29} < 6\). Значит, это число принадлежит \(M_1\).
Ответ: 1) 2; 2) \(22 - 4\sqrt{29}\).
