Страница 116 номер 14.8, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Решите уравнение: 1) \(\sqrt{22 - x} - \sqrt{10 - x} = 2\); 2) \(\sqrt{x - 5} - \sqrt{9 - x} = 1\); 3) \(\sqrt{2x + 3} - \sqrt{x + 1} = 1\); 4) \(2\sqrt{2 - x} - \sqrt{7 - x} = 1\).
1) ОДЗ: \(M = (-\infty;\ 10]\). Уравнение равносильно уравнению \(\sqrt{22 - x} = 2 + \sqrt{10 - x}\), обе части которого на \(M\) неотрицательны, поэтому
\[22 - x = 4 + 4\sqrt{10 - x} + 10 - x.\]
\(4\sqrt{10 - x} = 8\); \(\sqrt{10 - x} = 2\); \(10 - x = 4\); \(x = 6\) — число принадлежит множеству \(M\).
2) ОДЗ: \(M = [5;\ 9]\). Уравнение равносильно уравнению \(\sqrt{x - 5} = 1 + \sqrt{9 - x}\); обе части на \(M\) неотрицательны, поэтому
\[x - 5 = 1 + 2\sqrt{9 - x} + 9 - x.\]
Отсюда \(2x - 15 = 2\sqrt{9 - x}\). Правая часть неотрицательна, поэтому \(2x - 15 \geqslant 0\), то есть \(x \geqslant \frac{15}{2}\). На множестве \(M_1 = \left[\frac{15}{2};\ 9\right]\) обе части неотрицательны, и уравнение равносильно системе
\[\begin{cases} (2x - 15)^2 = 4(9 - x), \\ \frac{15}{2} \leqslant x \leqslant 9. \end{cases}\]
\(4x^2 - 60x + 225 = 36 - 4x\); \(4x^2 - 56x + 189 = 0\); \(D = 3136 - 3024 = 112\);
\[x = \frac{56 \pm 4\sqrt{7}}{8} = \frac{14 \pm \sqrt{7}}{2}.\]
Число \(\frac{14 - \sqrt{7}}{2} < 7 < \frac{15}{2}\) — не подходит. Для числа \(\frac{14 + \sqrt{7}}{2}\) из неравенств \(1 < \sqrt{7} < 4\) получаем \(\frac{15}{2} < \frac{14 + \sqrt{7}}{2} < 9\) — оно принадлежит \(M_1\).
3) ОДЗ: \(M = [-1;\ +\infty)\). Уравнение равносильно уравнению \(\sqrt{2x + 3} = 1 + \sqrt{x + 1}\); обе части на \(M\) неотрицательны, поэтому
\[2x + 3 = 1 + 2\sqrt{x + 1} + x + 1.\]
Отсюда \(x + 1 = 2\sqrt{x + 1}\); обе части и этого уравнения на \(M\) неотрицательны, поэтому
\[\begin{gathered} (x + 1)^2 = 4(x + 1); \\ (x + 1)(x - 3) = 0. \end{gathered}\]
Отсюда \(x = -1\) или \(x = 3\) — оба числа принадлежат множеству \(M\).
4) ОДЗ: \(M = (-\infty;\ 2]\). Уравнение равносильно уравнению \(2\sqrt{2 - x} = 1 + \sqrt{7 - x}\); обе части на \(M\) неотрицательны, поэтому
\[4(2 - x) = 1 + 2\sqrt{7 - x} + 7 - x.\]
Отсюда \(-3x = 2\sqrt{7 - x}\). Правая часть неотрицательна, поэтому \(-3x \geqslant 0\), то есть \(x \leqslant 0\). На множестве \(M_1 = (-\infty;\ 0]\) обе части неотрицательны, и уравнение равносильно системе
\[\begin{cases} 9x^2 = 4(7 - x), \\ x \leqslant 0. \end{cases}\]
\(9x^2 + 4x - 28 = 0\); \(D = 16 + 1008 = 1024\); \(x = \frac{-4 \pm 32}{18}\), то есть \(x = \frac{14}{9}\) или \(x = -2\). Условию \(x \leqslant 0\) удовлетворяет только \(x = -2\).
Ответ: 1) 6; 2) \(\frac{14 + \sqrt{7}}{2}\); 3) \(-1\); 3; 4) \(-2\).
Решите уравнение: 1) \(\sqrt{22 - x} - \sqrt{10 - x} = 2\); 2) \(\sqrt{x - 5} - \sqrt{9 - x} = 1\); 3) \(\sqrt{2x + 3} - \sqrt{x + 1} = 1\); 4) \(2\sqrt{2 - x} - \sqrt{7 - x} = 1\).
1) \(\sqrt{22 - x} - \sqrt{10 - x} = 2\).
Областью определения уравнения является множество \(M = (-\infty;\ 10]\). Данное уравнение равносильно уравнению \(\sqrt{22 - x} = 2 + \sqrt{10 - x}\), обе части которого на множестве \(M\) принимают неотрицательные значения, поэтому на \(M\) его можно возвести в квадрат:
\[22 - x = 4 + 4\sqrt{10 - x} + 10 - x.\]
Отсюда \(4\sqrt{10 - x} = 8\); \(\sqrt{10 - x} = 2\); \(10 - x = 4\); \(x = 6\). Число 6 принадлежит множеству \(M\).
2) \(\sqrt{x - 5} - \sqrt{9 - x} = 1\).
Областью определения уравнения является множество \(M = [5;\ 9]\). Данное уравнение равносильно уравнению \(\sqrt{x - 5} = 1 + \sqrt{9 - x}\); обе его части на \(M\) неотрицательны, поэтому возведём их в квадрат:
\[x - 5 = 1 + 2\sqrt{9 - x} + 9 - x.\]
Отсюда \(2x - 15 = 2\sqrt{9 - x}\). Правая часть неотрицательна, поэтому и \(2x - 15 \geqslant 0\), то есть \(x \geqslant \frac{15}{2}\). На множестве \(M_1 = \left[\frac{15}{2};\ 9\right]\) обе части неотрицательны, и уравнение равносильно системе
\[\begin{cases} (2x - 15)^2 = 4(9 - x), \\ \frac{15}{2} \leqslant x \leqslant 9. \end{cases}\]
Из первого уравнения \(4x^2 - 60x + 225 = 36 - 4x\); \(4x^2 - 56x + 189 = 0\); \(D = 3136 - 3024 = 112\);
\[x = \frac{56 \pm 4\sqrt{7}}{8} = \frac{14 \pm \sqrt{7}}{2}.\]
Число \(\frac{14 - \sqrt{7}}{2} < 7 < \frac{15}{2}\) — не подходит. Для числа \(\frac{14 + \sqrt{7}}{2}\) из неравенств \(1 < \sqrt{7} < 4\) получаем \(\frac{15}{2} < \frac{14 + \sqrt{7}}{2} < 9\) — оно принадлежит \(M_1\).
3) \(\sqrt{2x + 3} - \sqrt{x + 1} = 1\).
Областью определения уравнения является множество \(M = [-1;\ +\infty)\). Данное уравнение равносильно уравнению \(\sqrt{2x + 3} = 1 + \sqrt{x + 1}\); обе его части на \(M\) неотрицательны, поэтому возведём их в квадрат:
\[2x + 3 = 1 + 2\sqrt{x + 1} + x + 1.\]
Отсюда \(x + 1 = 2\sqrt{x + 1}\). Обе части и этого уравнения на множестве \(M\) неотрицательны, поэтому возведём их в квадрат:
\[\begin{gathered} (x + 1)^2 = 4(x + 1); \\ (x + 1)(x - 3) = 0. \end{gathered}\]
Отсюда \(x = -1\) или \(x = 3\); оба числа принадлежат множеству \(M\).
4) \(2\sqrt{2 - x} - \sqrt{7 - x} = 1\).
Областью определения уравнения является множество \(M = (-\infty;\ 2]\). Данное уравнение равносильно уравнению \(2\sqrt{2 - x} = 1 + \sqrt{7 - x}\); обе его части на \(M\) неотрицательны, поэтому возведём их в квадрат:
\[4(2 - x) = 1 + 2\sqrt{7 - x} + 7 - x.\]
Отсюда \(-3x = 2\sqrt{7 - x}\). Правая часть неотрицательна, поэтому \(-3x \geqslant 0\), то есть \(x \leqslant 0\). На множестве \(M_1 = (-\infty;\ 0]\) обе части неотрицательны, и уравнение равносильно системе
\[\begin{cases} 9x^2 = 4(7 - x), \\ x \leqslant 0. \end{cases}\]
Из первого уравнения \(9x^2 + 4x - 28 = 0\); \(D = 16 + 1008 = 1024\); \(x = \frac{-4 \pm 32}{18}\), то есть \(x = \frac{14}{9}\) или \(x = -2\). Условию \(x \leqslant 0\) удовлетворяет только \(x = -2\).
Ответ: 1) 6; 2) \(\frac{14 + \sqrt{7}}{2}\); 3) \(-1\); 3; 4) \(-2\).
