Страница 117 номер 14.10, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Решите уравнение: 1) \(\sqrt{x - 5} + \sqrt{10 - x} = 3\); 2) \(\sqrt{x - 7} + \sqrt{x - 1} = 4\); 3) \(\sqrt{3x - 1} + \sqrt{x + 3} = 2\); 4) \(\sqrt{13 - 4x} + \sqrt{x + 3} = 5\).
1) ОДЗ: \(M = [5;\ 10]\). Обе части на \(M\) неотрицательны, поэтому
\[x - 5 + 2\sqrt{(x - 5)(10 - x)} + 10 - x = 9.\]
Отсюда \(\sqrt{(x - 5)(10 - x)} = 2\); обе части и этого уравнения на \(M\) неотрицательны, поэтому
\[\begin{gathered} (x - 5)(10 - x) = 4; \\ x^2 - 15x + 54 = 0. \end{gathered}\]
Его корни \(x = 6\) и \(x = 9\) — оба принадлежат множеству \(M\).
2) ОДЗ: \(M = [7;\ +\infty)\). Возведём обе части в квадрат:
\[x - 7 + 2\sqrt{(x - 7)(x - 1)} + x - 1 = 16.\]
Отсюда \(\sqrt{(x - 7)(x - 1)} = 12 - x\). Левая часть неотрицательна, поэтому \(12 - x \geqslant 0\), то есть \(x \leqslant 12\). На множестве \(M_1 = [7;\ 12]\) обе части неотрицательны, и уравнение равносильно системе
\[\begin{cases} (x - 7)(x - 1) = (12 - x)^2, \\ 7 \leqslant x \leqslant 12. \end{cases}\]
\(x^2 - 8x + 7 = 144 - 24x + x^2\); \(16x = 137\); \(x = \frac{137}{16}\). Так как \(7 < \frac{137}{16} < 12\), это число принадлежит \(M_1\).
3) ОДЗ: \(M = \left[\frac{1}{3};\ +\infty\right)\). Возведём обе части в квадрат:
\[3x - 1 + 2\sqrt{(3x - 1)(x + 3)} + x + 3 = 4.\]
Отсюда \(\sqrt{(3x - 1)(x + 3)} = 1 - 2x\). Левая часть неотрицательна, поэтому \(1 - 2x \geqslant 0\), то есть \(x \leqslant \frac{1}{2}\). На множестве \(M_1 = \left[\frac{1}{3};\ \frac{1}{2}\right]\) обе части неотрицательны, и уравнение равносильно системе
\[\begin{cases} (3x - 1)(x + 3) = (1 - 2x)^2, \\ \frac{1}{3} \leqslant x \leqslant \frac{1}{2}. \end{cases}\]
\(3x^2 + 8x - 3 = 4x^2 - 4x + 1\); \(x^2 - 12x + 4 = 0\); \(D = 144 - 16 = 128\);
\[x = \frac{12 \pm 8\sqrt{2}}{2} = 6 \pm 4\sqrt{2}.\]
Число \(6 + 4\sqrt{2} > 6\) — не подходит. Для числа \(6 - 4\sqrt{2}\): \(\left(4\sqrt{2}\right)^2 = 32\), \(\left(\frac{11}{2}\right)^2 = \frac{121}{4} < 32\), \(\left(\frac{17}{3}\right)^2 = \frac{289}{9} > 32\), поэтому \(\frac{11}{2} < 4\sqrt{2} < \frac{17}{3}\) и \(\frac{1}{3} < 6 - 4\sqrt{2} < \frac{1}{2}\) — это число принадлежит \(M_1\).
4) ОДЗ: \(M = \left[-3;\ \frac{13}{4}\right]\). Возведём обе части в квадрат:
\[13 - 4x + 2\sqrt{(13 - 4x)(x + 3)} + x + 3 = 25.\]
Отсюда \(2\sqrt{(13 - 4x)(x + 3)} = 9 + 3x\). На множестве \(M\) правая часть неотрицательна, поэтому уравнение равносильно на \(M\) уравнению
\[4(13 - 4x)(x + 3) = (9 + 3x)^2.\]
\(-16x^2 + 4x + 156 = 9x^2 + 54x + 81\); \(25x^2 + 50x - 75 = 0\); \(x^2 + 2x - 3 = 0\); \(x = 1\) или \(x = -3\) — оба числа принадлежат множеству \(M\).
Ответ: 1) 6; 9; 2) \(\frac{137}{16}\); 3) \(6 - 4\sqrt{2}\); 4) \(-3\); 1.
Решите уравнение: 1) \(\sqrt{x - 5} + \sqrt{10 - x} = 3\); 2) \(\sqrt{x - 7} + \sqrt{x - 1} = 4\); 3) \(\sqrt{3x - 1} + \sqrt{x + 3} = 2\); 4) \(\sqrt{13 - 4x} + \sqrt{x + 3} = 5\).
1) \(\sqrt{x - 5} + \sqrt{10 - x} = 3\).
Областью определения уравнения является множество \(M = [5;\ 10]\). Обе части на \(M\) неотрицательны, поэтому возведём их в квадрат:
\[x - 5 + 2\sqrt{(x - 5)(10 - x)} + 10 - x = 9.\]
Отсюда \(\sqrt{(x - 5)(10 - x)} = 2\). Обе части и этого уравнения на \(M\) неотрицательны, поэтому
\[\begin{gathered} (x - 5)(10 - x) = 4; \\ x^2 - 15x + 54 = 0. \end{gathered}\]
Его корни \(x = 6\) и \(x = 9\); оба принадлежат множеству \(M\).
2) \(\sqrt{x - 7} + \sqrt{x - 1} = 4\).
Областью определения уравнения является множество \(M = [7;\ +\infty)\). Возведём обе части в квадрат:
\[x - 7 + 2\sqrt{(x - 7)(x - 1)} + x - 1 = 16.\]
Отсюда \(\sqrt{(x - 7)(x - 1)} = 12 - x\). Левая часть неотрицательна, поэтому \(12 - x \geqslant 0\), то есть \(x \leqslant 12\). На множестве \(M_1 = [7;\ 12]\) обе части неотрицательны, и уравнение равносильно системе
\[\begin{cases} (x - 7)(x - 1) = (12 - x)^2, \\ 7 \leqslant x \leqslant 12. \end{cases}\]
Из первого уравнения \(x^2 - 8x + 7 = 144 - 24x + x^2\); \(16x = 137\); \(x = \frac{137}{16}\). Так как \(7 < \frac{137}{16} < 12\), это число принадлежит \(M_1\).
3) \(\sqrt{3x - 1} + \sqrt{x + 3} = 2\).
Областью определения уравнения является множество \(M = \left[\frac{1}{3};\ +\infty\right)\). Возведём обе части в квадрат:
\[3x - 1 + 2\sqrt{(3x - 1)(x + 3)} + x + 3 = 4.\]
Отсюда \(\sqrt{(3x - 1)(x + 3)} = 1 - 2x\). Левая часть неотрицательна, поэтому \(1 - 2x \geqslant 0\), то есть \(x \leqslant \frac{1}{2}\). На множестве \(M_1 = \left[\frac{1}{3};\ \frac{1}{2}\right]\) обе части неотрицательны, и уравнение равносильно системе
\[\begin{cases} (3x - 1)(x + 3) = (1 - 2x)^2, \\ \frac{1}{3} \leqslant x \leqslant \frac{1}{2}. \end{cases}\]
Из первого уравнения \(3x^2 + 8x - 3 = 4x^2 - 4x + 1\); \(x^2 - 12x + 4 = 0\); \(D = 144 - 16 = 128\);
\[x = \frac{12 \pm 8\sqrt{2}}{2} = 6 \pm 4\sqrt{2}.\]
Число \(6 + 4\sqrt{2} > 6\) — не подходит. Для числа \(6 - 4\sqrt{2}\) сравним \(4\sqrt{2}\) с числами \(\frac{11}{2}\) и \(\frac{17}{3}\): \(\left(4\sqrt{2}\right)^2 = 32\), \(\left(\frac{11}{2}\right)^2 = \frac{121}{4} < 32\), \(\left(\frac{17}{3}\right)^2 = \frac{289}{9} > 32\), поэтому \(\frac{11}{2} < 4\sqrt{2} < \frac{17}{3}\) и \(\frac{1}{3} < 6 - 4\sqrt{2} < \frac{1}{2}\). Значит, это число принадлежит \(M_1\).
4) \(\sqrt{13 - 4x} + \sqrt{x + 3} = 5\).
Областью определения уравнения является множество \(M = \left[-3;\ \frac{13}{4}\right]\). Возведём обе части в квадрат:
\[13 - 4x + 2\sqrt{(13 - 4x)(x + 3)} + x + 3 = 25.\]
Отсюда \(2\sqrt{(13 - 4x)(x + 3)} = 9 + 3x\). На множестве \(M\) правая часть неотрицательна, поэтому уравнение равносильно на \(M\) уравнению
\[4(13 - 4x)(x + 3) = (9 + 3x)^2.\]
Отсюда \(-16x^2 + 4x + 156 = 9x^2 + 54x + 81\); \(25x^2 + 50x - 75 = 0\); \(x^2 + 2x - 3 = 0\); \(x = 1\) или \(x = -3\). Оба числа принадлежат множеству \(M\).
Ответ: 1) 6; 9; 2) \(\frac{137}{16}\); 3) \(6 - 4\sqrt{2}\); 4) \(-3\); 1.
