Страница 116 номер 14.7, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Решите уравнение: 1) \(\sqrt{1 + x\sqrt{x^2 + 24}} = x + 1\); 2) \(\sqrt{1 + x\sqrt{x^2 - 24}} = x - 1\).
1) Уравнение равносильно системе
\[\begin{cases} 1 + x\sqrt{x^2 + 24} = (x + 1)^2, \\ x + 1 \geqslant 0. \end{cases}\]
Первое уравнение:
\[\begin{gathered} x\sqrt{x^2 + 24} = x^2 + 2x; \\ x\left(\sqrt{x^2 + 24} - x - 2\right) = 0. \end{gathered}\]
Отсюда получаем совокупность
\[\left[ \begin{array}{l} x = 0, \\ \sqrt{x^2 + 24} = x + 2. \end{array} \right.\]
Второе уравнение совокупности равносильно системе
\[\begin{cases} x^2 + 24 = (x + 2)^2, \\ x + 2 \geqslant 0. \end{cases}\]
\(x^2 + 24 = x^2 + 4x + 4\); \(4x = 20\); \(x = 5\); условие \(x \geqslant -2\) выполняется.
Оба найденных числа, 0 и 5, удовлетворяют и условию \(x + 1 \geqslant 0\).
2) Уравнение равносильно системе
\[\begin{cases} 1 + x\sqrt{x^2 - 24} = (x - 1)^2, \\ x - 1 \geqslant 0. \end{cases}\]
Первое уравнение:
\[\begin{gathered} x\sqrt{x^2 - 24} = x^2 - 2x; \\ x\left(\sqrt{x^2 - 24} - x + 2\right) = 0. \end{gathered}\]
По второму условию системы \(x \geqslant 1\), поэтому \(x \ne 0\) и остаётся уравнение \(\sqrt{x^2 - 24} = x - 2\), равносильное системе
\[\begin{cases} x^2 - 24 = (x - 2)^2, \\ x - 2 \geqslant 0. \end{cases}\]
\(x^2 - 24 = x^2 - 4x + 4\); \(4x = 28\); \(x = 7\); условия \(x \geqslant 2\) и \(x \geqslant 1\) выполняются.
Ответ: 1) 0; 5; 2) 7.
Решите уравнение: 1) \(\sqrt{1 + x\sqrt{x^2 + 24}} = x + 1\); 2) \(\sqrt{1 + x\sqrt{x^2 - 24}} = x - 1\).
1) \(\sqrt{1 + x\sqrt{x^2 + 24}} = x + 1\).
Данное уравнение равносильно системе
\[\begin{cases} 1 + x\sqrt{x^2 + 24} = (x + 1)^2, \\ x + 1 \geqslant 0. \end{cases}\]
Преобразуем первое уравнение:
\[\begin{gathered} x\sqrt{x^2 + 24} = x^2 + 2x; \\ x\left(\sqrt{x^2 + 24} - x - 2\right) = 0. \end{gathered}\]
Отсюда получаем совокупность
\[\left[ \begin{array}{l} x = 0, \\ \sqrt{x^2 + 24} = x + 2. \end{array} \right.\]
Второе уравнение совокупности равносильно системе
\[\begin{cases} x^2 + 24 = (x + 2)^2, \\ x + 2 \geqslant 0. \end{cases}\]
Из первого уравнения \(x^2 + 24 = x^2 + 4x + 4\); \(4x = 20\); \(x = 5\); условие \(x \geqslant -2\) выполняется.
Оба найденных числа, 0 и 5, удовлетворяют и условию \(x + 1 \geqslant 0\).
2) \(\sqrt{1 + x\sqrt{x^2 - 24}} = x - 1\).
Данное уравнение равносильно системе
\[\begin{cases} 1 + x\sqrt{x^2 - 24} = (x - 1)^2, \\ x - 1 \geqslant 0. \end{cases}\]
Преобразуем первое уравнение:
\[\begin{gathered} x\sqrt{x^2 - 24} = x^2 - 2x; \\ x\left(\sqrt{x^2 - 24} - x + 2\right) = 0. \end{gathered}\]
По второму условию системы \(x \geqslant 1\), поэтому \(x \neq 0\) и остаётся уравнение \(\sqrt{x^2 - 24} = x - 2\). Оно равносильно системе
\[\begin{cases} x^2 - 24 = (x - 2)^2, \\ x - 2 \geqslant 0. \end{cases}\]
Из первого уравнения \(x^2 - 24 = x^2 - 4x + 4\); \(4x = 28\); \(x = 7\); условия \(x \geqslant 2\) и \(x \geqslant 1\) выполняются.
Ответ: 1) 0; 5; 2) 7.
