Страница 116 номер 14.6, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Решите уравнение: 1) \(\sqrt{(3x - 1)(4x + 3)} = 3x - 1\); 2) \((x - 1)\sqrt{x^2 - 3x - 3} = 5x - 5\).
1) Уравнение равносильно системе
\[\begin{cases} (3x - 1)(4x + 3) = (3x - 1)^2, \\ 3x - 1 \geqslant 0. \end{cases}\]
Первое уравнение решаем разложением на множители, не сокращая на \(3x - 1\):
\[\begin{gathered} (3x - 1)\left((4x + 3) - (3x - 1)\right) = 0; \\ (3x - 1)(x + 4) = 0. \end{gathered}\]
Отсюда \(x = \frac{1}{3}\) или \(x = -4\). Условию \(x \geqslant \frac{1}{3}\) удовлетворяет только \(x = \frac{1}{3}\).
2) ОДЗ: \(x^2 - 3x - 3 \geqslant 0\).
Перенесём всё в левую часть:
\[(x - 1)\left(\sqrt{x^2 - 3x - 3} - 5\right) = 0.\]
На области определения уравнение равносильно совокупности
\[\left[ \begin{array}{l} x - 1 = 0, \\ \sqrt{x^2 - 3x - 3} = 5. \end{array} \right.\]
Число \(x = 1\) области определения не принадлежит: при \(x = 1\) подкоренное выражение равно \(1 - 3 - 3 = -5 < 0\), значит, корнем оно не является.
Второе уравнение совокупности: \(x^2 - 3x - 3 = 25\); \(x^2 - 3x - 28 = 0\); \(x = 7\) или \(x = -4\); при каждом из этих значений подкоренное выражение равно 25, то есть неотрицательно.
Ответ: 1) \(\frac{1}{3}\); 2) \(-4\); 7.
Решите уравнение: 1) \(\sqrt{(3x - 1)(4x + 3)} = 3x - 1\); 2) \((x - 1)\sqrt{x^2 - 3x - 3} = 5x - 5\).
1) \(\sqrt{(3x - 1)(4x + 3)} = 3x - 1\).
Данное уравнение равносильно системе
\[\begin{cases} (3x - 1)(4x + 3) = (3x - 1)^2, \\ 3x - 1 \geqslant 0. \end{cases}\]
Первое уравнение решаем разложением на множители, не сокращая на \(3x - 1\):
\[\begin{gathered} (3x - 1)\left((4x + 3) - (3x - 1)\right) = 0; \\ (3x - 1)(x + 4) = 0. \end{gathered}\]
Отсюда \(x = \frac{1}{3}\) или \(x = -4\). Условию \(x \geqslant \frac{1}{3}\) удовлетворяет только \(x = \frac{1}{3}\).
2) \((x - 1)\sqrt{x^2 - 3x - 3} = 5x - 5\).
Область определения уравнения задаётся условием \(x^2 - 3x - 3 \geqslant 0\). Перенесём всё в левую часть и разложим на множители:
\[(x - 1)\left(\sqrt{x^2 - 3x - 3} - 5\right) = 0.\]
На области определения уравнение равносильно совокупности
\[\left[ \begin{array}{l} x - 1 = 0, \\ \sqrt{x^2 - 3x - 3} = 5. \end{array} \right.\]
Число \(x = 1\) области определения не принадлежит: при \(x = 1\) подкоренное выражение равно \(1 - 3 - 3 = -5 < 0\). Значит, корнем оно не является.
Второе уравнение совокупности: \(x^2 - 3x - 3 = 25\); \(x^2 - 3x - 28 = 0\); \(x = 7\) или \(x = -4\). При каждом из этих значений подкоренное выражение равно 25, то есть неотрицательно.
Ответ: 1) \(\frac{1}{3}\); 2) \(-4\); 7.
