Страница 116 номер 14.5, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Решите уравнение: 1) \(\sqrt{(2x + 3)(x - 4)} = x - 4\); 2) \(\sqrt{(x - 2)(2x - 5)} + 2 = x\); 3) \((x + 2)\sqrt{x^2 - x - 20} = 6x + 12\); 4) \((x + 1)\sqrt{x^2 - 5x + 5} = x + 1\).
1) Уравнение равносильно системе
\[\begin{cases} (2x + 3)(x - 4) = (x - 4)^2, \\ x - 4 \geqslant 0. \end{cases}\]
Первое уравнение решаем разложением на множители, не сокращая на \(x - 4\):
\[\begin{gathered} (x - 4)\left((2x + 3) - (x - 4)\right) = 0; \\ (x - 4)(x + 7) = 0. \end{gathered}\]
Отсюда \(x = 4\) или \(x = -7\). Условию \(x \geqslant 4\) удовлетворяет только \(x = 4\).
2) Уединим радикал: \(\sqrt{(x - 2)(2x - 5)} = x - 2\). Полученное уравнение равносильно системе
\[\begin{cases} (x - 2)(2x - 5) = (x - 2)^2, \\ x - 2 \geqslant 0. \end{cases}\]
\((x - 2)\left((2x - 5) - (x - 2)\right) = 0\); \((x - 2)(x - 3) = 0\); \(x = 2\) или \(x = 3\) — оба числа удовлетворяют условию \(x \geqslant 2\).
3) ОДЗ: \(x^2 - x - 20 \geqslant 0\), то есть \((x + 4)(x - 5) \geqslant 0\), откуда \(x \leqslant -4\) или \(x \geqslant 5\).
Перенесём всё в левую часть:
\[(x + 2)\left(\sqrt{x^2 - x - 20} - 6\right) = 0.\]
На области определения уравнение равносильно совокупности
\[\left[ \begin{array}{l} x + 2 = 0, \\ \sqrt{x^2 - x - 20} = 6. \end{array} \right.\]
Число \(x = -2\) области определения не принадлежит: при \(x = -2\) подкоренное выражение равно \(4 + 2 - 20 = -14 < 0\), значит, корнем оно не является.
Второе уравнение совокупности: \(x^2 - x - 20 = 36\); \(x^2 - x - 56 = 0\); \(x = 8\) или \(x = -7\) — оба числа принадлежат области определения (\(-7 \leqslant -4\) и \(8 \geqslant 5\)).
4) ОДЗ: \(x^2 - 5x + 5 \geqslant 0\).
Перенесём всё в левую часть:
\[(x + 1)\left(\sqrt{x^2 - 5x + 5} - 1\right) = 0.\]
На области определения уравнение равносильно совокупности
\[\left[ \begin{array}{l} x + 1 = 0, \\ \sqrt{x^2 - 5x + 5} = 1. \end{array} \right.\]
При \(x = -1\) подкоренное выражение равно \(1 + 5 + 5 = 11 \geqslant 0\), значит, \(x = -1\) — корень уравнения.
Второе уравнение совокупности: \(x^2 - 5x + 5 = 1\); \(x^2 - 5x + 4 = 0\); \(x = 1\) или \(x = 4\); при каждом из этих значений подкоренное выражение равно 1, то есть неотрицательно.
Ответ: 1) 4; 2) 2; 3; 3) \(-7\); 8; 4) \(-1\); 1; 4.
Решите уравнение: 1) \(\sqrt{(2x + 3)(x - 4)} = x - 4\); 2) \(\sqrt{(x - 2)(2x - 5)} + 2 = x\); 3) \((x + 2)\sqrt{x^2 - x - 20} = 6x + 12\); 4) \((x + 1)\sqrt{x^2 - 5x + 5} = x + 1\).
1) \(\sqrt{(2x + 3)(x - 4)} = x - 4\).
Данное уравнение равносильно системе
\[\begin{cases} (2x + 3)(x - 4) = (x - 4)^2, \\ x - 4 \geqslant 0. \end{cases}\]
Первое уравнение решаем разложением на множители, не сокращая на \(x - 4\):
\[\begin{gathered} (x - 4)\left((2x + 3) - (x - 4)\right) = 0; \\ (x - 4)(x + 7) = 0. \end{gathered}\]
Отсюда \(x = 4\) или \(x = -7\). Условию \(x \geqslant 4\) удовлетворяет только \(x = 4\).
2) \(\sqrt{(x - 2)(2x - 5)} + 2 = x\).
Уединим радикал: \(\sqrt{(x - 2)(2x - 5)} = x - 2\). Полученное уравнение равносильно системе
\[\begin{cases} (x - 2)(2x - 5) = (x - 2)^2, \\ x - 2 \geqslant 0. \end{cases}\]
Первое уравнение: \((x - 2)\left((2x - 5) - (x - 2)\right) = 0\); \((x - 2)(x - 3) = 0\); \(x = 2\) или \(x = 3\). Оба числа удовлетворяют условию \(x \geqslant 2\).
3) \((x + 2)\sqrt{x^2 - x - 20} = 6x + 12\).
Область определения уравнения задаётся условием \(x^2 - x - 20 \geqslant 0\), то есть \((x + 4)(x - 5) \geqslant 0\), откуда \(x \leqslant -4\) или \(x \geqslant 5\).
Перенесём всё в левую часть и разложим на множители:
\[(x + 2)\left(\sqrt{x^2 - x - 20} - 6\right) = 0.\]
Произведение равно нулю, когда равен нулю один из множителей, поэтому на области определения уравнение равносильно совокупности
\[\left[ \begin{array}{l} x + 2 = 0, \\ \sqrt{x^2 - x - 20} = 6. \end{array} \right.\]
Число \(x = -2\) области определения не принадлежит: при \(x = -2\) подкоренное выражение равно \(4 + 2 - 20 = -14 < 0\). Значит, корнем оно не является.
Второе уравнение совокупности: \(x^2 - x - 20 = 36\); \(x^2 - x - 56 = 0\); \(x = 8\) или \(x = -7\). Оба числа принадлежат области определения (\(-7 \leqslant -4\) и \(8 \geqslant 5\)).
4) \((x + 1)\sqrt{x^2 - 5x + 5} = x + 1\).
Область определения уравнения задаётся условием \(x^2 - 5x + 5 \geqslant 0\). Перенесём всё в левую часть:
\[(x + 1)\left(\sqrt{x^2 - 5x + 5} - 1\right) = 0.\]
На области определения уравнение равносильно совокупности
\[\left[ \begin{array}{l} x + 1 = 0, \\ \sqrt{x^2 - 5x + 5} = 1. \end{array} \right.\]
При \(x = -1\) подкоренное выражение равно \(1 + 5 + 5 = 11 \geqslant 0\), значит, \(x = -1\) — корень уравнения.
Второе уравнение совокупности: \(x^2 - 5x + 5 = 1\); \(x^2 - 5x + 4 = 0\); \(x = 1\) или \(x = 4\). При каждом из этих значений подкоренное выражение равно 1, то есть неотрицательно.
Ответ: 1) 4; 2) 2; 3; 3) \(-7\); 8; 4) \(-1\); 1; 4.
