Страница 116 номер 14.4, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа

1) \(\sqrt{10 - 3x} = -x\).

Данное уравнение равносильно системе

\[\begin{cases} 10 - 3x = x^2, \\ -x \geqslant 0. \end{cases}\]

Первое уравнение приводится к виду \(x^2 + 3x - 10 = 0\), его корни \(x = 2\) и \(x = -5\). Условию \(x \leqslant 0\) удовлетворяет только \(x = -5\).

2) \(\sqrt{2x^2 + 5x + 4} = 2x + 2\).

Данное уравнение равносильно системе

\[\begin{cases} 2x^2 + 5x + 4 = (2x + 2)^2, \\ 2x + 2 \geqslant 0. \end{cases}\]

Из первого уравнения \(2x^2 + 5x + 4 = 4x^2 + 8x + 4\); \(2x^2 + 3x = 0\); \(x(2x + 3) = 0\); \(x = 0\) или \(x = -\frac{3}{2}\). Условию \(x \geqslant -1\) удовлетворяет только \(x = 0\).

3) \(\sqrt{x + 2} = 1 - x\).

Данное уравнение равносильно системе

\[\begin{cases} x + 2 = (1 - x)^2, \\ 1 - x \geqslant 0. \end{cases}\]

Из первого уравнения \(x + 2 = 1 - 2x + x^2\); \(x^2 - 3x - 1 = 0\); \(D = 9 + 4 = 13\); \(x = \frac{3 \pm \sqrt{13}}{2}\).

Второе условие даёт \(x \leqslant 1\). Так как \(\sqrt{13} > 3\), то \(\frac{3 - \sqrt{13}}{2} < 0 < 1\) — это число подходит, а \(\frac{3 + \sqrt{13}}{2} > 3 > 1\) — не подходит.

4) \(x - \sqrt{3x^2 - 11x - 20} = 5\).

Уединим радикал: \(\sqrt{3x^2 - 11x - 20} = x - 5\). Полученное уравнение равносильно системе

\[\begin{cases} 3x^2 - 11x - 20 = (x - 5)^2, \\ x - 5 \geqslant 0. \end{cases}\]

Из первого уравнения \(3x^2 - 11x - 20 = x^2 - 10x + 25\); \(2x^2 - x - 45 = 0\); \(D = 1 + 360 = 361\); \(x = \frac{1 \pm 19}{4}\), то есть \(x = 5\) или \(x = -\frac{9}{2}\). Условию \(x \geqslant 5\) удовлетворяет только \(x = 5\).

Ответ: 1) \(-5\); 2) 0; 3) \(\frac{3 - \sqrt{13}}{2}\); 4) 5.