Страница 116 номер 14.3, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Решите уравнение: 1) \(\sqrt{2 - x} = x\); 2) \(\sqrt{x + 1} = x - 1\); 3) \(\sqrt{3x - 2} = x\); 4) \(\sqrt{x^2 - 1} = 3 - 2x\); 5) \(x - \sqrt{2x^2 + x - 21} = 3\); 6) \(x + 2 + \sqrt{8 - 3x - x^2} = 0\).
1) Уравнение равносильно системе
\[\begin{cases} 2 - x = x^2, \\ x \geqslant 0. \end{cases}\]
\(x^2 + x - 2 = 0\); \(x = 1\) или \(x = -2\). Условию \(x \geqslant 0\) удовлетворяет только \(x = 1\).
2) Уравнение равносильно системе
\[\begin{cases} x + 1 = (x - 1)^2, \\ x - 1 \geqslant 0. \end{cases}\]
\(x + 1 = x^2 - 2x + 1\); \(x^2 - 3x = 0\); \(x = 0\) или \(x = 3\). Условию \(x \geqslant 1\) удовлетворяет только \(x = 3\).
3) Уравнение равносильно системе
\[\begin{cases} 3x - 2 = x^2, \\ x \geqslant 0. \end{cases}\]
\(x^2 - 3x + 2 = 0\); \(x = 1\) или \(x = 2\) — оба корня неотрицательны.
4) Уравнение равносильно системе
\[\begin{cases} x^2 - 1 = (3 - 2x)^2, \\ 3 - 2x \geqslant 0. \end{cases}\]
\(x^2 - 1 = 9 - 12x + 4x^2\); \(3x^2 - 12x + 10 = 0\); \(D = 144 - 120 = 24\);
\[x = \frac{12 \pm 2\sqrt{6}}{6} = \frac{6 \pm \sqrt{6}}{3}.\]
Второе условие даёт \(x \leqslant \frac{3}{2}\). Так как \(\sqrt{6} > 2\), то \(\frac{6 - \sqrt{6}}{3} < \frac{4}{3} < \frac{3}{2}\) — это число подходит, а \(\frac{6 + \sqrt{6}}{3} > \frac{8}{3} > \frac{3}{2}\) — не подходит.
5) Уединим радикал: \(\sqrt{2x^2 + x - 21} = x - 3\). Полученное уравнение равносильно системе
\[\begin{cases} 2x^2 + x - 21 = (x - 3)^2, \\ x - 3 \geqslant 0. \end{cases}\]
\(2x^2 + x - 21 = x^2 - 6x + 9\); \(x^2 + 7x - 30 = 0\); \(x = 3\) или \(x = -10\). Условию \(x \geqslant 3\) удовлетворяет только \(x = 3\).
6) Уединим радикал: \(\sqrt{8 - 3x - x^2} = -x - 2\). Полученное уравнение равносильно системе
\[\begin{cases} 8 - 3x - x^2 = (x + 2)^2, \\ -x - 2 \geqslant 0. \end{cases}\]
\(8 - 3x - x^2 = x^2 + 4x + 4\); \(2x^2 + 7x - 4 = 0\); \(D = 49 + 32 = 81\); \(x = \frac{-7 \pm 9}{4}\), то есть \(x = \frac{1}{2}\) или \(x = -4\). Условию \(x \leqslant -2\) удовлетворяет только \(x = -4\).
Ответ: 1) 1; 2) 3; 3) 1; 2; 4) \(\frac{6 - \sqrt{6}}{3}\); 5) 3; 6) \(-4\).
Решите уравнение: 1) \(\sqrt{2 - x} = x\); 2) \(\sqrt{x + 1} = x - 1\); 3) \(\sqrt{3x - 2} = x\); 4) \(\sqrt{x^2 - 1} = 3 - 2x\); 5) \(x - \sqrt{2x^2 + x - 21} = 3\); 6) \(x + 2 + \sqrt{8 - 3x - x^2} = 0\).
1) \(\sqrt{2 - x} = x\).
Данное уравнение равносильно системе
\[\begin{cases} 2 - x = x^2, \\ x \geqslant 0. \end{cases}\]
Первое уравнение приводится к виду \(x^2 + x - 2 = 0\), его корни \(x = 1\) и \(x = -2\). Условию \(x \geqslant 0\) удовлетворяет только \(x = 1\).
2) \(\sqrt{x + 1} = x - 1\).
Данное уравнение равносильно системе
\[\begin{cases} x + 1 = (x - 1)^2, \\ x - 1 \geqslant 0. \end{cases}\]
Из первого уравнения \(x + 1 = x^2 - 2x + 1\); \(x^2 - 3x = 0\); \(x = 0\) или \(x = 3\). Условию \(x \geqslant 1\) удовлетворяет только \(x = 3\).
3) \(\sqrt{3x - 2} = x\).
Данное уравнение равносильно системе
\[\begin{cases} 3x - 2 = x^2, \\ x \geqslant 0. \end{cases}\]
Первое уравнение приводится к виду \(x^2 - 3x + 2 = 0\), его корни \(x = 1\) и \(x = 2\); оба неотрицательны.
4) \(\sqrt{x^2 - 1} = 3 - 2x\).
Данное уравнение равносильно системе
\[\begin{cases} x^2 - 1 = (3 - 2x)^2, \\ 3 - 2x \geqslant 0. \end{cases}\]
Из первого уравнения \(x^2 - 1 = 9 - 12x + 4x^2\); \(3x^2 - 12x + 10 = 0\); \(D = 144 - 120 = 24\);
\[x = \frac{12 \pm 2\sqrt{6}}{6} = \frac{6 \pm \sqrt{6}}{3}.\]
Второе условие даёт \(x \leqslant \frac{3}{2}\). Так как \(\sqrt{6} > 2\), то \(\frac{6 - \sqrt{6}}{3} < \frac{4}{3} < \frac{3}{2}\) — это число подходит, а \(\frac{6 + \sqrt{6}}{3} > \frac{8}{3} > \frac{3}{2}\) — не подходит.
5) \(x - \sqrt{2x^2 + x - 21} = 3\).
Уединим радикал: \(\sqrt{2x^2 + x - 21} = x - 3\). Полученное уравнение равносильно системе
\[\begin{cases} 2x^2 + x - 21 = (x - 3)^2, \\ x - 3 \geqslant 0. \end{cases}\]
Из первого уравнения \(2x^2 + x - 21 = x^2 - 6x + 9\); \(x^2 + 7x - 30 = 0\); \(x = 3\) или \(x = -10\). Условию \(x \geqslant 3\) удовлетворяет только \(x = 3\).
6) \(x + 2 + \sqrt{8 - 3x - x^2} = 0\).
Уединим радикал: \(\sqrt{8 - 3x - x^2} = -x - 2\). Полученное уравнение равносильно системе
\[\begin{cases} 8 - 3x - x^2 = (x + 2)^2, \\ -x - 2 \geqslant 0. \end{cases}\]
Из первого уравнения \(8 - 3x - x^2 = x^2 + 4x + 4\); \(2x^2 + 7x - 4 = 0\); \(D = 49 + 32 = 81\); \(x = \frac{-7 \pm 9}{4}\), то есть \(x = \frac{1}{2}\) или \(x = -4\). Условию \(x \leqslant -2\) удовлетворяет только \(x = -4\).
Ответ: 1) 1; 2) 3; 3) 1; 2; 4) \(\frac{6 - \sqrt{6}}{3}\); 5) 3; 6) \(-4\).
