Страница 116 номер 14.2, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Решите уравнение: 1) \(\sqrt[4]{x + 3} = \sqrt[4]{2x - 3}\); 2) \(\sqrt{4x - 5} = \sqrt{1 - x}\); 3) \(\sqrt[5]{x^2 - 25} = \sqrt[5]{2x + 10}\); 4) \(\sqrt{x^2 - 36} = \sqrt{2x - 1}\).
1) Обе части уравнения неотрицательны, поэтому вместе с условием существования корня оно равносильно системе
\[\begin{cases} x + 3 = 2x - 3, \\ x + 3 \geqslant 0. \end{cases}\]
\(x = 6\); при этом \(x + 3 = 9 \geqslant 0\) — условие выполняется.
2) Уравнение равносильно системе
\[\begin{cases} 4x - 5 = 1 - x, \\ 1 - x \geqslant 0. \end{cases}\]
\(5x = 6\), то есть \(x = \frac{6}{5}\); условие \(x \leqslant 1\) не выполняется, значит, уравнение корней не имеет.
3) Показатель степени нечётный, поэтому после возведения обеих частей в пятую степень получаем равносильное уравнение:
\[\begin{gathered} x^2 - 25 = 2x + 10; \\ x^2 - 2x - 35 = 0. \end{gathered}\]
Его корни \(x = 7\) и \(x = -5\).
4) Уравнение равносильно системе
\[\begin{cases} x^2 - 36 = 2x - 1, \\ 2x - 1 \geqslant 0. \end{cases}\]
\(x^2 - 2x - 35 = 0\); \(x = 7\) или \(x = -5\). Условию \(x \geqslant \frac{1}{2}\) удовлетворяет только \(x = 7\).
Ответ: 1) 6; 2) корней нет; 3) \(-5\); 7; 4) 7.
Решите уравнение: 1) \(\sqrt[4]{x + 3} = \sqrt[4]{2x - 3}\); 2) \(\sqrt{4x - 5} = \sqrt{1 - x}\); 3) \(\sqrt[5]{x^2 - 25} = \sqrt[5]{2x + 10}\); 4) \(\sqrt{x^2 - 36} = \sqrt{2x - 1}\).
1) \(\sqrt[4]{x + 3} = \sqrt[4]{2x - 3}\).
Обе части уравнения принимают неотрицательные значения, поэтому их можно возвести в четвёртую степень; вместе с условием существования корня получаем, что данное уравнение равносильно системе
\[\begin{cases} x + 3 = 2x - 3, \\ x + 3 \geqslant 0. \end{cases}\]
Из первого уравнения \(x = 6\); при этом \(x + 3 = 9 \geqslant 0\), условие выполняется.
2) \(\sqrt{4x - 5} = \sqrt{1 - x}\).
Данное уравнение равносильно системе
\[\begin{cases} 4x - 5 = 1 - x, \\ 1 - x \geqslant 0. \end{cases}\]
Из первого уравнения \(5x = 6\), то есть \(x = \frac{6}{5}\). Условие \(x \leqslant 1\) при этом не выполняется, значит, уравнение корней не имеет.
3) \(\sqrt[5]{x^2 - 25} = \sqrt[5]{2x + 10}\).
Возведём обе части в пятую степень. Показатель степени нечётный, поэтому получим равносильное уравнение:
\[\begin{gathered} x^2 - 25 = 2x + 10; \\ x^2 - 2x - 35 = 0. \end{gathered}\]
Его корни \(x = 7\) и \(x = -5\).
4) \(\sqrt{x^2 - 36} = \sqrt{2x - 1}\).
Данное уравнение равносильно системе
\[\begin{cases} x^2 - 36 = 2x - 1, \\ 2x - 1 \geqslant 0. \end{cases}\]
Первое уравнение приводится к виду \(x^2 - 2x - 35 = 0\), его корни \(x = 7\) и \(x = -5\). Условию \(x \geqslant \frac{1}{2}\) удовлетворяет только \(x = 7\).
Ответ: 1) 6; 2) корней нет; 3) \(-5\); 7; 4) 7.
