Страница 118 номер 14.20, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
При каких значениях параметра \(a\) уравнение \(ax - 1 = \sqrt{8x - x^2 - 15}\) имеет единственное решение?
Уравнение \(\sqrt{8x - x^2 - 15} = ax - 1\) равносильно системе
\[\begin{cases} 8x - x^2 - 15 = (ax - 1)^2, \\ ax - 1 \geqslant 0. \end{cases}\]
Первое уравнение системы:
\[\begin{gathered} 8x - x^2 - 15 = a^2x^2 - 2ax + 1; \\ \left(a^2 + 1\right)x^2 - (2a + 8)x + 16 = 0. \end{gathered}\]
Каждый его корень удовлетворяет равенству \(8x - x^2 - 15 = (ax - 1)^2 \geqslant 0\), откуда \(x^2 - 8x + 15 \leqslant 0\) и \(3 \leqslant x \leqslant 5\). Значит, все корни лежат на промежутке \([3;\ 5]\), и остаётся отобрать те из них, для которых \(ax \geqslant 1\).
Если \(a \leqslant 0\), то при \(3 \leqslant x \leqslant 5\) имеем \(ax - 1 \leqslant -1 < 0\) — решений нет. Дальше \(a > 0\), и условие \(ax \geqslant 1\) равносильно условию \(x \geqslant \frac{1}{a}\).
\[D = (2a + 8)^2 - 64\left(a^2 + 1\right) = 32a - 60a^2 = 4a(8 - 15a).\]
При \(a > \frac{8}{15}\) получаем \(D < 0\) — решений нет.
При \(a = \frac{8}{15}\) получаем \(D = 0\) и единственный корень \(x = \frac{a + 4}{a^2 + 1} = \frac{60}{17}\); условие выполняется: \(\frac{8}{15} \cdot \frac{60}{17} = \frac{32}{17} > 1\) — единственное решение.
Пусть \(0 < a < \frac{8}{15}\); тогда \(D > 0\) и корней два. Обозначим \(f(x) = \left(a^2 + 1\right)x^2 - (2a + 8)x + 16\):
\[f\left(\frac{1}{a}\right) = \frac{a^2 + 1 - (2a + 8)a + 16a^2}{a^2} = \frac{15a^2 - 8a + 1}{a^2} = \frac{(3a - 1)(5a - 1)}{a^2}.\]
Если \(\frac{1}{5} < a < \frac{1}{3}\), то \(f\left(\frac{1}{a}\right) < 0\); старший коэффициент положителен, поэтому число \(\frac{1}{a}\) лежит между корнями: ровно один корень больше \(\frac{1}{a}\) — единственное решение.
Если \(a = \frac{1}{5}\): \(13x^2 - 105x + 200 = 0\); \(D = 11\,025 - 10\,400 = 625\); \(x = 5\) или \(x = \frac{40}{13}\). Условию \(x \geqslant \frac{1}{a} = 5\) удовлетворяет только \(x = 5\) — единственное решение.
Если \(a = \frac{1}{3}\): \(5x^2 - 39x + 72 = 0\); \(D = 1521 - 1440 = 81\); \(x = 3\) или \(x = \frac{24}{5}\). Условию \(x \geqslant \frac{1}{a} = 3\) удовлетворяют оба корня — решений два, такое значение параметра не подходит.
Если \(0 < a < \frac{1}{5}\) или \(\frac{1}{3} < a < \frac{8}{15}\), то \(f\left(\frac{1}{a}\right) > 0\) и оба корня лежат по одну сторону от числа \(\frac{1}{a}\). Абсцисса вершины параболы \(x_0 = \frac{a + 4}{a^2 + 1}\), причём неравенство \(x_0 < \frac{1}{a}\) равносильно неравенству \(a(a + 4) < a^2 + 1\), то есть \(a < \frac{1}{4}\). Значит, при \(0 < a < \frac{1}{5}\) оба корня меньше \(\frac{1}{a}\) — решений нет, а при \(\frac{1}{3} < a < \frac{8}{15}\) оба корня больше \(\frac{1}{a}\) — решений два.
Ответ: \(\frac{1}{5} \leqslant a < \frac{1}{3}\) или \(a = \frac{8}{15}\).
При каких значениях параметра \(a\) уравнение \(ax - 1 = \sqrt{8x - x^2 - 15}\) имеет единственное решение?
Уравнение \(\sqrt{8x - x^2 - 15} = ax - 1\) равносильно системе
\[\begin{cases} 8x - x^2 - 15 = (ax - 1)^2, \\ ax - 1 \geqslant 0. \end{cases}\]
Первое уравнение системы приводится к квадратному:
\[\begin{gathered} 8x - x^2 - 15 = a^2x^2 - 2ax + 1; \\ \left(a^2 + 1\right)x^2 - (2a + 8)x + 16 = 0. \end{gathered}\]
Каждый его корень удовлетворяет равенству \(8x - x^2 - 15 = (ax - 1)^2 \geqslant 0\), откуда \(x^2 - 8x + 15 \leqslant 0\) и \(3 \leqslant x \leqslant 5\). Значит, все корни этого квадратного уравнения лежат на промежутке \([3;\ 5]\), и остаётся отобрать те из них, для которых \(ax \geqslant 1\).
Если \(a \leqslant 0\), то при \(3 \leqslant x \leqslant 5\) имеем \(ax - 1 \leqslant -1 < 0\), и решений нет. Дальше считаем, что \(a > 0\); тогда условие \(ax \geqslant 1\) равносильно условию \(x \geqslant \frac{1}{a}\).
Дискриминант квадратного уравнения:
\[D = (2a + 8)^2 - 64\left(a^2 + 1\right) = 32a - 60a^2 = 4a(8 - 15a).\]
При \(a > \frac{8}{15}\) получаем \(D < 0\) — решений нет.
При \(a = \frac{8}{15}\) получаем \(D = 0\) и единственный корень \(x = \frac{a + 4}{a^2 + 1} = \frac{60}{17}\). Условие выполняется: \(\frac{8}{15} \cdot \frac{60}{17} = \frac{32}{17} > 1\). Значит, уравнение имеет единственное решение.
Пусть \(0 < a < \frac{8}{15}\); тогда \(D > 0\) и корней два. Обозначим \(f(x) = \left(a^2 + 1\right)x^2 - (2a + 8)x + 16\) и найдём знак этого трёхчлена в точке \(x = \frac{1}{a}\):
\[f\left(\frac{1}{a}\right) = \frac{a^2 + 1 - (2a + 8)a + 16a^2}{a^2} = \frac{15a^2 - 8a + 1}{a^2} = \frac{(3a - 1)(5a - 1)}{a^2}.\]
Если \(\frac{1}{5} < a < \frac{1}{3}\), то \((3a - 1)(5a - 1) < 0\), то есть \(f\left(\frac{1}{a}\right) < 0\). Старший коэффициент трёхчлена положителен, поэтому число \(\frac{1}{a}\) лежит между корнями: ровно один корень больше \(\frac{1}{a}\), и уравнение имеет единственное решение.
Если \(a = \frac{1}{5}\), квадратное уравнение принимает вид \(13x^2 - 105x + 200 = 0\); \(D = 11\,025 - 10\,400 = 625\); его корни \(x = 5\) и \(x = \frac{40}{13}\). Условию \(x \geqslant \frac{1}{a} = 5\) удовлетворяет только \(x = 5\) — единственное решение.
Если \(a = \frac{1}{3}\), квадратное уравнение принимает вид \(5x^2 - 39x + 72 = 0\); \(D = 1521 - 1440 = 81\); его корни \(x = 3\) и \(x = \frac{24}{5}\). Условию \(x \geqslant \frac{1}{a} = 3\) удовлетворяют оба корня — решений два, такое значение параметра не подходит.
Если \(0 < a < \frac{1}{5}\) или \(\frac{1}{3} < a < \frac{8}{15}\), то \(f\left(\frac{1}{a}\right) > 0\) и оба корня лежат по одну сторону от числа \(\frac{1}{a}\). Абсцисса вершины параболы равна \(x_0 = \frac{a + 4}{a^2 + 1}\), причём неравенство \(x_0 < \frac{1}{a}\) равносильно неравенству \(a(a + 4) < a^2 + 1\), то есть \(a < \frac{1}{4}\). Значит, при \(0 < a < \frac{1}{5}\) оба корня меньше \(\frac{1}{a}\) — решений нет, а при \(\frac{1}{3} < a < \frac{8}{15}\) оба корня больше \(\frac{1}{a}\) — решений два.
Найденным значениям параметра отвечает такое расположение графика \(y = \sqrt{8x - x^2 - 15}\) и прямых \(y = ax - 1\):
Ответ: \(\frac{1}{5} \leqslant a < \frac{1}{3}\) или \(a = \frac{8}{15}\).
