Страница 117 номер 14.19, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Для каждого значения параметра \(a\) решите уравнение \(2\sqrt{x + 2 + 2\sqrt{x + 1}} = a - x\).
ОДЗ: \(x + 1 \geqslant 0\).
Выражение под внешним радикалом — квадрат двучлена:
\[x + 2 + 2\sqrt{x + 1} = (x + 1) + 2\sqrt{x + 1} + 1 = \left(\sqrt{x + 1} + 1\right)^2.\]
Так как \(\sqrt{x + 1} + 1 > 0\), уравнение принимает вид \(2\sqrt{x + 1} + 2 = a - x\), то есть
\[2\sqrt{x + 1} = a - x - 2.\]
Полученное уравнение равносильно системе
\[\begin{cases} 4(x + 1) = (a - x - 2)^2, \\ a - x - 2 \geqslant 0. \end{cases}\]
Первое уравнение системы:
\[\begin{gathered} 4x + 4 = x^2 - 2(a - 2)x + (a - 2)^2; \\ x^2 - 2ax + a^2 - 4a = 0; \\ (x - a)^2 = 4a. \end{gathered}\]
При \(a < 0\) оно корней не имеет, значит, и данное уравнение корней не имеет.
При \(a \geqslant 0\) получаем \(x = a - 2\sqrt{a}\) или \(x = a + 2\sqrt{a}\).
Проверяем условие \(x \leqslant a - 2\). Для числа \(x = a + 2\sqrt{a}\) оно принимает вид \(2\sqrt{a} \leqslant -2\) и не выполняется ни при каком \(a \geqslant 0\). Для числа \(x = a - 2\sqrt{a}\) оно принимает вид \(-2\sqrt{a} \leqslant -2\), то есть \(\sqrt{a} \geqslant 1\), откуда \(a \geqslant 1\).
Ответ: при \(a < 1\) корней нет; при \(a \geqslant 1\) единственный корень \(x = a - 2\sqrt{a}\).
Для каждого значения параметра \(a\) решите уравнение \(2\sqrt{x + 2 + 2\sqrt{x + 1}} = a - x\).
Область определения уравнения \(2\sqrt{x + 2 + 2\sqrt{x + 1}} = a - x\) задаётся условием \(x + 1 \geqslant 0\).
Выражение под внешним радикалом — квадрат двучлена:
\[x + 2 + 2\sqrt{x + 1} = (x + 1) + 2\sqrt{x + 1} + 1 = \left(\sqrt{x + 1} + 1\right)^2.\]
Так как \(\sqrt{x + 1} + 1 > 0\), то корень из этого квадрата равен самому двучлену, и уравнение принимает вид \(2\sqrt{x + 1} + 2 = a - x\), то есть
\[2\sqrt{x + 1} = a - x - 2.\]
Полученное уравнение равносильно системе
\[\begin{cases} 4(x + 1) = (a - x - 2)^2, \\ a - x - 2 \geqslant 0. \end{cases}\]
Преобразуем первое уравнение системы:
\[\begin{gathered} 4x + 4 = x^2 - 2(a - 2)x + (a - 2)^2; \\ x^2 - 2ax + a^2 - 4a = 0; \\ (x - a)^2 = 4a. \end{gathered}\]
При \(a < 0\) последнее уравнение корней не имеет, значит, и данное уравнение корней не имеет.
При \(a \geqslant 0\) получаем \(x = a - 2\sqrt{a}\) или \(x = a + 2\sqrt{a}\).
Осталось проверить условие \(x \leqslant a - 2\). Для числа \(x = a + 2\sqrt{a}\) оно принимает вид \(2\sqrt{a} \leqslant -2\) и не выполняется ни при каком \(a \geqslant 0\). Для числа \(x = a - 2\sqrt{a}\) оно принимает вид \(-2\sqrt{a} \leqslant -2\), то есть \(\sqrt{a} \geqslant 1\), откуда \(a \geqslant 1\).
Ответ: при \(a < 1\) корней нет; при \(a \geqslant 1\) единственный корень \(x = a - 2\sqrt{a}\).
