Страница 116 номер 14.1, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Решите уравнение: 1) \(\sqrt[7]{2x - 1} = \sqrt[7]{3 - x}\); 2) \(\sqrt{2x - 1} = \sqrt{1 - 2x}\); 3) \(\sqrt{2x - 1} = \sqrt{x - 3}\); 4) \(\sqrt{2x - 1} = \sqrt{x^2 + 4x - 16}\).
1) Показатель степени нечётный, поэтому после возведения обеих частей в седьмую степень получаем равносильное уравнение:
\[\begin{gathered} 2x - 1 = 3 - x; \\ 3x = 4; \\ x = \frac{4}{3}. \end{gathered}\]
2) Уравнение равносильно системе
\[\begin{cases} 2x - 1 = 1 - 2x, \\ 2x - 1 \geqslant 0. \end{cases}\]
\(4x = 2\), то есть \(x = \frac{1}{2}\); при этом \(2x - 1 = 0\) — условие выполняется.
3) Уравнение равносильно системе
\[\begin{cases} 2x - 1 = x - 3, \\ x - 3 \geqslant 0. \end{cases}\]
Из первого уравнения \(x = -2\), а второе условие требует \(x \geqslant 3\): система решений не имеет, значит, и уравнение корней не имеет.
4) Уравнение равносильно системе
\[\begin{cases} 2x - 1 = x^2 + 4x - 16, \\ 2x - 1 \geqslant 0. \end{cases}\]
\(x^2 + 2x - 15 = 0\); \(x = 3\) или \(x = -5\). Условию \(x \geqslant \frac{1}{2}\) удовлетворяет только \(x = 3\).
Ответ: 1) \(\frac{4}{3}\); 2) \(\frac{1}{2}\); 3) корней нет; 4) 3.
Решите уравнение: 1) \(\sqrt[7]{2x - 1} = \sqrt[7]{3 - x}\); 2) \(\sqrt{2x - 1} = \sqrt{1 - 2x}\); 3) \(\sqrt{2x - 1} = \sqrt{x - 3}\); 4) \(\sqrt{2x - 1} = \sqrt{x^2 + 4x - 16}\).
1) \(\sqrt[7]{2x - 1} = \sqrt[7]{3 - x}\).
Возведём обе части уравнения в седьмую степень. Показатель степени нечётный, поэтому получим равносильное уравнение:
\[\begin{gathered} 2x - 1 = 3 - x; \\ 3x = 4; \\ x = \frac{4}{3}. \end{gathered}\]
2) \(\sqrt{2x - 1} = \sqrt{1 - 2x}\).
Данное уравнение равносильно системе
\[\begin{cases} 2x - 1 = 1 - 2x, \\ 2x - 1 \geqslant 0. \end{cases}\]
Из первого уравнения \(4x = 2\), то есть \(x = \frac{1}{2}\). При этом значении \(2x - 1 = 0\), условие \(2x - 1 \geqslant 0\) выполняется.
3) \(\sqrt{2x - 1} = \sqrt{x - 3}\).
Данное уравнение равносильно системе
\[\begin{cases} 2x - 1 = x - 3, \\ x - 3 \geqslant 0. \end{cases}\]
Из первого уравнения \(x = -2\), а второе условие требует \(x \geqslant 3\). Система решений не имеет, значит, и уравнение корней не имеет.
4) \(\sqrt{2x - 1} = \sqrt{x^2 + 4x - 16}\).
Данное уравнение равносильно системе
\[\begin{cases} 2x - 1 = x^2 + 4x - 16, \\ 2x - 1 \geqslant 0. \end{cases}\]
Первое уравнение приводится к виду \(x^2 + 2x - 15 = 0\), его корни \(x = 3\) и \(x = -5\). Условию \(x \geqslant \frac{1}{2}\) удовлетворяет только \(x = 3\).
Ответ: 1) \(\frac{4}{3}\); 2) \(\frac{1}{2}\); 3) корней нет; 4) 3.
