Страница 117 номер 14.18, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Для каждого значения параметра \(a\) решите уравнение \(\sqrt{x + \frac{1}{2} + \sqrt{x + \frac{1}{4}}} = a - x\).
ОДЗ: \(x + \frac{1}{4} \geqslant 0\); при \(x \geqslant -\frac{1}{4}\) выражение под внешним радикалом положительно, так как \(x + \frac{1}{2} \geqslant \frac{1}{4} > 0\).
Выражение под внешним радикалом — квадрат двучлена:
\[x + \frac{1}{2} + \sqrt{x + \frac{1}{4}} = \left(x + \frac{1}{4}\right) + \sqrt{x + \frac{1}{4}} + \frac{1}{4} = \left(\sqrt{x + \frac{1}{4}} + \frac{1}{2}\right)^2.\]
Так как \(\sqrt{x + \frac{1}{4}} + \frac{1}{2} > 0\), уравнение принимает вид \(\sqrt{x + \frac{1}{4}} + \frac{1}{2} = a - x\), то есть
\[\sqrt{x + \frac{1}{4}} = a - x - \frac{1}{2}.\]
Полученное уравнение равносильно системе
\[\begin{cases} x + \frac{1}{4} = \left(a - x - \frac{1}{2}\right)^2, \\ a - x - \frac{1}{2} \geqslant 0. \end{cases}\]
Первое уравнение системы:
\[\begin{gathered} x + \frac{1}{4} = x^2 - (2a - 1)x + a^2 - a + \frac{1}{4}; \\ x^2 - 2ax + a^2 = a; \\ (x - a)^2 = a. \end{gathered}\]
При \(a < 0\) оно корней не имеет, значит, и данное уравнение корней не имеет.
При \(a \geqslant 0\) получаем \(x = a - \sqrt{a}\) или \(x = a + \sqrt{a}\).
Проверяем условие \(x \leqslant a - \frac{1}{2}\). Для числа \(x = a + \sqrt{a}\) оно принимает вид \(\sqrt{a} \leqslant -\frac{1}{2}\) и не выполняется ни при каком \(a \geqslant 0\). Для числа \(x = a - \sqrt{a}\) оно принимает вид \(-\sqrt{a} \leqslant -\frac{1}{2}\), то есть \(\sqrt{a} \geqslant \frac{1}{2}\), откуда \(a \geqslant \frac{1}{4}\).
Ответ: при \(a < \frac{1}{4}\) корней нет; при \(a \geqslant \frac{1}{4}\) единственный корень \(x = a - \sqrt{a}\).
Для каждого значения параметра \(a\) решите уравнение \(\sqrt{x + \frac{1}{2} + \sqrt{x + \frac{1}{4}}} = a - x\).
Область определения уравнения \(\sqrt{x + \frac{1}{2} + \sqrt{x + \frac{1}{4}}} = a - x\) задаётся условием \(x + \frac{1}{4} \geqslant 0\): при \(x \geqslant -\frac{1}{4}\) выражение под внешним радикалом положительно, так как \(x + \frac{1}{2} \geqslant \frac{1}{4} > 0\).
Выражение под внешним радикалом — квадрат двучлена:
\[x + \frac{1}{2} + \sqrt{x + \frac{1}{4}} = \left(x + \frac{1}{4}\right) + \sqrt{x + \frac{1}{4}} + \frac{1}{4} = \left(\sqrt{x + \frac{1}{4}} + \frac{1}{2}\right)^2.\]
Так как \(\sqrt{x + \frac{1}{4}} + \frac{1}{2} > 0\), то корень из этого квадрата равен самому двучлену, и уравнение принимает вид \(\sqrt{x + \frac{1}{4}} + \frac{1}{2} = a - x\), то есть
\[\sqrt{x + \frac{1}{4}} = a - x - \frac{1}{2}.\]
Полученное уравнение равносильно системе
\[\begin{cases} x + \frac{1}{4} = \left(a - x - \frac{1}{2}\right)^2, \\ a - x - \frac{1}{2} \geqslant 0. \end{cases}\]
Преобразуем первое уравнение системы:
\[\begin{gathered} x + \frac{1}{4} = x^2 - (2a - 1)x + a^2 - a + \frac{1}{4}; \\ x^2 - 2ax + a^2 = a; \\ (x - a)^2 = a. \end{gathered}\]
При \(a < 0\) последнее уравнение корней не имеет, значит, и данное уравнение корней не имеет.
При \(a \geqslant 0\) получаем \(x = a - \sqrt{a}\) или \(x = a + \sqrt{a}\).
Осталось проверить условие \(x \leqslant a - \frac{1}{2}\). Для числа \(x = a + \sqrt{a}\) оно принимает вид \(\sqrt{a} \leqslant -\frac{1}{2}\) и не выполняется ни при каком \(a \geqslant 0\). Для числа \(x = a - \sqrt{a}\) оно принимает вид \(-\sqrt{a} \leqslant -\frac{1}{2}\), то есть \(\sqrt{a} \geqslant \frac{1}{2}\), откуда \(a \geqslant \frac{1}{4}\).
Ответ: при \(a < \frac{1}{4}\) корней нет; при \(a \geqslant \frac{1}{4}\) единственный корень \(x = a - \sqrt{a}\).
