Страница 117 номер 14.17, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Решите уравнение: 1) \(\sqrt{x^2 - 3x + 2} + \sqrt{x^2 - 6x + 8} = \sqrt{x^2 - 11x + 18}\); 2) \(\sqrt{x^2 - 3x - 10} + \sqrt{x^2 + 3x + 2} = \sqrt{x^2 + 8x + 12}\).
1) Разложим квадратные трёхчлены под радикалами на множители:
\[\sqrt{(x - 1)(x - 2)} + \sqrt{(x - 2)(x - 4)} = \sqrt{(x - 2)(x - 9)}.\]
ОДЗ задаётся системой
\[\begin{cases} (x - 1)(x - 2) \geqslant 0, \\ (x - 2)(x - 4) \geqslant 0, \\ (x - 2)(x - 9) \geqslant 0. \end{cases}\]
Решения неравенств: \(x \leqslant 1\) или \(x \geqslant 2\); \(x \leqslant 2\) или \(x \geqslant 4\); \(x \leqslant 2\) или \(x \geqslant 9\). Их пересечение — множество \((-\infty;\ 1] \cup \{2\} \cup [9;\ +\infty)\).
Случай 1. \(x \geqslant 9\). Все двучлены неотрицательны, поэтому после деления обеих частей на \(\sqrt{x - 2} > 0\) получаем
\[\sqrt{x - 1} + \sqrt{x - 4} = \sqrt{x - 9}.\]
Так как \(x - 1 > x - 9\), то \(\sqrt{x - 1} > \sqrt{x - 9}\), и левая часть больше правой. Решений нет.
Случай 2. \(x \leqslant 1\). Здесь все двучлены неположительны:
\[\sqrt{1 - x}\sqrt{2 - x} + \sqrt{2 - x}\sqrt{4 - x} = \sqrt{2 - x}\sqrt{9 - x}.\]
После деления на \(\sqrt{2 - x} > 0\) получаем \(\sqrt{1 - x} + \sqrt{4 - x} = \sqrt{9 - x}\); обе части неотрицательны, поэтому
\[1 - x + 2\sqrt{(1 - x)(4 - x)} + 4 - x = 9 - x.\]
Отсюда \(2\sqrt{(1 - x)(4 - x)} = x + 4\). Левая часть неотрицательна, поэтому \(x + 4 \geqslant 0\), то есть \(-4 \leqslant x \leqslant 1\). На этом промежутке обе части неотрицательны, и уравнение равносильно системе
\[\begin{cases} 4(1 - x)(4 - x) = (x + 4)^2, \\ -4 \leqslant x \leqslant 1. \end{cases}\]
\(4x^2 - 20x + 16 = x^2 + 8x + 16\); \(3x^2 - 28x = 0\); \(x(3x - 28) = 0\); \(x = 0\) или \(x = \frac{28}{3}\). Промежутку \([-4;\ 1]\) принадлежит только \(x = 0\).
Случай 3. \(x - 2 = 0\), то есть \(x = 2\). Все три подкоренных выражения равны нулю и равенство \(0 + 0 = 0\) верно, значит, \(x = 2\) — корень уравнения.
2) Разложим подкоренные выражения на множители:
\[\sqrt{(x - 5)(x + 2)} + \sqrt{(x + 1)(x + 2)} = \sqrt{(x + 2)(x + 6)}.\]
ОДЗ задаётся системой
\[\begin{cases} (x - 5)(x + 2) \geqslant 0, \\ (x + 1)(x + 2) \geqslant 0, \\ (x + 2)(x + 6) \geqslant 0. \end{cases}\]
Решения неравенств: \(x \leqslant -2\) или \(x \geqslant 5\); \(x \leqslant -2\) или \(x \geqslant -1\); \(x \leqslant -6\) или \(x \geqslant -2\). Их пересечение — множество \((-\infty;\ -6] \cup \{-2\} \cup [5;\ +\infty)\).
Случай 1. \(x \geqslant 5\). Все двучлены неотрицательны, поэтому после деления обеих частей на \(\sqrt{x + 2} > 0\) получаем \(\sqrt{x - 5} + \sqrt{x + 1} = \sqrt{x + 6}\); обе части неотрицательны, поэтому
\[x - 5 + 2\sqrt{(x - 5)(x + 1)} + x + 1 = x + 6.\]
Отсюда \(2\sqrt{(x - 5)(x + 1)} = 10 - x\). Левая часть неотрицательна, поэтому \(10 - x \geqslant 0\), то есть \(5 \leqslant x \leqslant 10\). На этом промежутке обе части неотрицательны, и уравнение равносильно системе
\[\begin{cases} 4(x - 5)(x + 1) = (10 - x)^2, \\ 5 \leqslant x \leqslant 10. \end{cases}\]
\(4x^2 - 16x - 20 = x^2 - 20x + 100\); \(3x^2 + 4x - 120 = 0\); \(D = 16 + 1440 = 1456\); \(\sqrt{1456} = 4\sqrt{91}\);
\[x = \frac{-4 \pm 4\sqrt{91}}{6} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{91}}{3}.\]
Число \(\frac{-2 - 2\sqrt{91}}{3}\) отрицательно — не подходит. Для числа \(\frac{-2 + 2\sqrt{91}}{3}\) из неравенств \(9 < \sqrt{91} < 10\) получаем \(\frac{16}{3} < \frac{-2 + 2\sqrt{91}}{3} < 6\) — оно принадлежит промежутку \([5;\ 10]\).
Случай 2. \(x \leqslant -6\). Здесь все двучлены неположительны:
\[\sqrt{5 - x}\sqrt{-x - 2} + \sqrt{-x - 1}\sqrt{-x - 2} = \sqrt{-x - 2}\sqrt{-x - 6}.\]
После деления на \(\sqrt{-x - 2} > 0\) получаем \(\sqrt{5 - x} + \sqrt{-x - 1} = \sqrt{-x - 6}\). Так как \(5 - x > -x - 6\), то \(\sqrt{5 - x} > \sqrt{-x - 6}\), и левая часть больше правой. Решений нет.
Случай 3. \(x + 2 = 0\), то есть \(x = -2\). Все три подкоренных выражения равны нулю и равенство \(0 + 0 = 0\) верно, значит, \(x = -2\) — корень уравнения.
Ответ: 1) 0; 2; 2) \(-2\); \(\frac{-2 + 2\sqrt{91}}{3}\).
Решите уравнение: 1) \(\sqrt{x^2 - 3x + 2} + \sqrt{x^2 - 6x + 8} = \sqrt{x^2 - 11x + 18}\); 2) \(\sqrt{x^2 - 3x - 10} + \sqrt{x^2 + 3x + 2} = \sqrt{x^2 + 8x + 12}\).
1) \(\sqrt{x^2 - 3x + 2} + \sqrt{x^2 - 6x + 8} = \sqrt{x^2 - 11x + 18}\).
Разложим квадратные трёхчлены под радикалами на множители:
\[\sqrt{(x - 1)(x - 2)} + \sqrt{(x - 2)(x - 4)} = \sqrt{(x - 2)(x - 9)}.\]
Область определения уравнения задаётся системой
\[\begin{cases} (x - 1)(x - 2) \geqslant 0, \\ (x - 2)(x - 4) \geqslant 0, \\ (x - 2)(x - 9) \geqslant 0. \end{cases}\]
Решения этих неравенств: \(x \leqslant 1\) или \(x \geqslant 2\); \(x \leqslant 2\) или \(x \geqslant 4\); \(x \leqslant 2\) или \(x \geqslant 9\). Их пересечение — множество \((-\infty;\ 1] \cup \{2\} \cup [9;\ +\infty)\).
Случай 1. \(x \geqslant 9\). Все двучлены неотрицательны, поэтому после деления обеих частей на \(\sqrt{x - 2} > 0\) получаем
\[\sqrt{x - 1} + \sqrt{x - 4} = \sqrt{x - 9}.\]
Так как \(x - 1 > x - 9\), то \(\sqrt{x - 1} > \sqrt{x - 9}\), и левая часть больше правой. Решений нет.
Случай 2. \(x \leqslant 1\). Здесь все двучлены неположительны, и корень из произведения равен произведению корней из противоположных им чисел:
\[\sqrt{1 - x}\sqrt{2 - x} + \sqrt{2 - x}\sqrt{4 - x} = \sqrt{2 - x}\sqrt{9 - x}.\]
Разделим обе части на \(\sqrt{2 - x} > 0\): \(\sqrt{1 - x} + \sqrt{4 - x} = \sqrt{9 - x}\). Обе части неотрицательны, поэтому возведём их в квадрат:
\[1 - x + 2\sqrt{(1 - x)(4 - x)} + 4 - x = 9 - x.\]
Отсюда \(2\sqrt{(1 - x)(4 - x)} = x + 4\). Левая часть неотрицательна, поэтому \(x + 4 \geqslant 0\), то есть \(-4 \leqslant x \leqslant 1\). На этом промежутке обе части неотрицательны, и уравнение равносильно системе
\[\begin{cases} 4(1 - x)(4 - x) = (x + 4)^2, \\ -4 \leqslant x \leqslant 1. \end{cases}\]
Из первого уравнения \(4x^2 - 20x + 16 = x^2 + 8x + 16\); \(3x^2 - 28x = 0\); \(x(3x - 28) = 0\); \(x = 0\) или \(x = \frac{28}{3}\). Промежутку \([-4;\ 1]\) принадлежит только \(x = 0\).
Случай 3. \(x - 2 = 0\), то есть \(x = 2\). При этом значении все три подкоренных выражения равны нулю и равенство \(0 + 0 = 0\) верно, значит, \(x = 2\) — корень уравнения.
2) \(\sqrt{x^2 - 3x - 10} + \sqrt{x^2 + 3x + 2} = \sqrt{x^2 + 8x + 12}\).
Разложим подкоренные выражения на множители:
\[\sqrt{(x - 5)(x + 2)} + \sqrt{(x + 1)(x + 2)} = \sqrt{(x + 2)(x + 6)}.\]
Область определения задаётся системой
\[\begin{cases} (x - 5)(x + 2) \geqslant 0, \\ (x + 1)(x + 2) \geqslant 0, \\ (x + 2)(x + 6) \geqslant 0. \end{cases}\]
Решения этих неравенств: \(x \leqslant -2\) или \(x \geqslant 5\); \(x \leqslant -2\) или \(x \geqslant -1\); \(x \leqslant -6\) или \(x \geqslant -2\). Их пересечение — множество \((-\infty;\ -6] \cup \{-2\} \cup [5;\ +\infty)\).
Случай 1. \(x \geqslant 5\). Все двучлены неотрицательны, поэтому после деления обеих частей на \(\sqrt{x + 2} > 0\) получаем \(\sqrt{x - 5} + \sqrt{x + 1} = \sqrt{x + 6}\). Обе части неотрицательны, поэтому возведём их в квадрат:
\[x - 5 + 2\sqrt{(x - 5)(x + 1)} + x + 1 = x + 6.\]
Отсюда \(2\sqrt{(x - 5)(x + 1)} = 10 - x\). Левая часть неотрицательна, поэтому \(10 - x \geqslant 0\), то есть \(5 \leqslant x \leqslant 10\). На этом промежутке обе части неотрицательны, и уравнение равносильно системе
\[\begin{cases} 4(x - 5)(x + 1) = (10 - x)^2, \\ 5 \leqslant x \leqslant 10. \end{cases}\]
Из первого уравнения \(4x^2 - 16x - 20 = x^2 - 20x + 100\); \(3x^2 + 4x - 120 = 0\); \(D = 16 + 1440 = 1456\); \(\sqrt{1456} = 4\sqrt{91}\);
\[x = \frac{-4 \pm 4\sqrt{91}}{6} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{91}}{3}.\]
Число \(\frac{-2 - 2\sqrt{91}}{3}\) отрицательно — не подходит. Для числа \(\frac{-2 + 2\sqrt{91}}{3}\) из неравенств \(9 < \sqrt{91} < 10\) получаем \(\frac{16}{3} < \frac{-2 + 2\sqrt{91}}{3} < 6\), то есть это число принадлежит промежутку \([5;\ 10]\).
Случай 2. \(x \leqslant -6\). Здесь все двучлены неположительны, и
\[\sqrt{5 - x}\sqrt{-x - 2} + \sqrt{-x - 1}\sqrt{-x - 2} = \sqrt{-x - 2}\sqrt{-x - 6}.\]
После деления обеих частей на \(\sqrt{-x - 2} > 0\) получаем \(\sqrt{5 - x} + \sqrt{-x - 1} = \sqrt{-x - 6}\). Так как \(5 - x > -x - 6\), то \(\sqrt{5 - x} > \sqrt{-x - 6}\), и левая часть больше правой. Решений нет.
Случай 3. \(x + 2 = 0\), то есть \(x = -2\). При этом значении все три подкоренных выражения равны нулю и равенство \(0 + 0 = 0\) верно, значит, \(x = -2\) — корень уравнения.
Ответ: 1) 0; 2; 2) \(-2\); \(\frac{-2 + 2\sqrt{91}}{3}\).
