Страница 117 номер 14.16, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа

1) \(\sqrt{x^2 - 4} + \sqrt{x^2 + 2x - 8} = \sqrt{x^2 - 6x + 8}\).

Разложим квадратные трёхчлены под радикалами на множители:

\[\sqrt{(x - 2)(x + 2)} + \sqrt{(x - 2)(x + 4)} = \sqrt{(x - 2)(x - 4)}.\]

Область определения уравнения задаётся системой

\[\begin{cases} (x - 2)(x + 2) \geqslant 0, \\ (x - 2)(x + 4) \geqslant 0, \\ (x - 2)(x - 4) \geqslant 0. \end{cases}\]

Решения этих неравенств: \(x \leqslant -2\) или \(x \geqslant 2\); \(x \leqslant -4\) или \(x \geqslant 2\); \(x \leqslant 2\) или \(x \geqslant 4\). Их пересечение — множество \((-\infty;\ -4] \cup \{2\} \cup [4;\ +\infty)\). Значит, данное уравнение равносильно совокупности двух систем и одного уравнения.

Случай 1. \(x \geqslant 4\). Все двучлены неотрицательны, поэтому корень из произведения равен произведению корней, и после деления обеих частей на \(\sqrt{x - 2} > 0\) получаем

\[\sqrt{x + 2} + \sqrt{x + 4} = \sqrt{x - 4}.\]

Так как \(x + 2 > x - 4\), то \(\sqrt{x + 2} > \sqrt{x - 4}\), и левая часть больше правой. Решений нет.

Случай 2. \(x \leqslant -4\). Здесь все двучлены неположительны, и корень из произведения двух неположительных множителей равен произведению корней из противоположных им чисел:

\[\sqrt{2 - x}\sqrt{-x - 2} + \sqrt{2 - x}\sqrt{-x - 4} = \sqrt{2 - x}\sqrt{4 - x}.\]

Разделим обе части на \(\sqrt{2 - x} > 0\): \(\sqrt{-x - 2} + \sqrt{-x - 4} = \sqrt{4 - x}\). Обе части неотрицательны, поэтому возведём их в квадрат:

\[-x - 2 + 2\sqrt{(x + 2)(x + 4)} - x - 4 = 4 - x.\]

Отсюда \(2\sqrt{(x + 2)(x + 4)} = x + 10\). Левая часть неотрицательна, поэтому \(x + 10 \geqslant 0\), то есть \(-10 \leqslant x \leqslant -4\). На этом промежутке обе части неотрицательны, и уравнение равносильно системе

\[\begin{cases} 4(x + 2)(x + 4) = (x + 10)^2, \\ -10 \leqslant x \leqslant -4. \end{cases}\]

Из первого уравнения \(4x^2 + 24x + 32 = x^2 + 20x + 100\); \(3x^2 + 4x - 68 = 0\); \(D = 16 + 816 = 832\); \(\sqrt{832} = 8\sqrt{13}\);

\[x = \frac{-4 \pm 8\sqrt{13}}{6} = \frac{-2 \pm 4\sqrt{13}}{3}.\]

Число \(\frac{-2 + 4\sqrt{13}}{3}\) положительно — не подходит. Для числа \(\frac{-2 - 4\sqrt{13}}{3}\) из неравенств \(3 < \sqrt{13} < 4\) получаем \(-6 < \frac{-2 - 4\sqrt{13}}{3} < -\frac{14}{3}\), то есть это число принадлежит промежутку \([-10;\ -4]\).

Случай 3. \(x - 2 = 0\), то есть \(x = 2\). При этом значении все три подкоренных выражения равны нулю и равенство \(0 + 0 = 0\) верно, значит, \(x = 2\) — корень уравнения.

2) \(\sqrt{2x^2 + 5x + 2} - \sqrt{x^2 + x - 2} = \sqrt{3x + 6}\).

Разложим подкоренные выражения на множители:

\[\sqrt{(x + 2)(2x + 1)} - \sqrt{(x + 2)(x - 1)} = \sqrt{3(x + 2)}.\]

Область определения задаётся системой

\[\begin{cases} (x + 2)(2x + 1) \geqslant 0, \\ (x + 2)(x - 1) \geqslant 0, \\ 3(x + 2) \geqslant 0. \end{cases}\]

Решения этих неравенств: \(x \leqslant -2\) или \(x \geqslant -\frac{1}{2}\); \(x \leqslant -2\) или \(x \geqslant 1\); \(x \geqslant -2\). Их пересечение — множество \(\{-2\} \cup [1;\ +\infty)\).

Случай 1. \(x \geqslant 1\). Все множители неотрицательны, поэтому после деления обеих частей на \(\sqrt{x + 2} > 0\) получаем \(\sqrt{2x + 1} - \sqrt{x - 1} = \sqrt{3}\), то есть \(\sqrt{2x + 1} = \sqrt{3} + \sqrt{x - 1}\). Обе части неотрицательны, поэтому возведём их в квадрат:

\[2x + 1 = 3 + 2\sqrt{3(x - 1)} + x - 1.\]

Отсюда \(x - 1 = 2\sqrt{3x - 3}\). При \(x \geqslant 1\) обе части неотрицательны, поэтому

\[\begin{gathered} (x - 1)^2 = 12(x - 1); \\ (x - 1)(x - 13) = 0. \end{gathered}\]

Отсюда \(x = 1\) или \(x = 13\); оба числа удовлетворяют условию \(x \geqslant 1\).

Случай 2. \(x + 2 = 0\), то есть \(x = -2\). При этом значении все три подкоренных выражения равны нулю и равенство \(0 - 0 = 0\) верно, значит, \(x = -2\) — корень уравнения.

Ответ: 1) 2; \(\frac{-2 - 4\sqrt{13}}{3}\); 2) \(-2\); 1; 13.