Страница 117 номер 14.15, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Решите уравнение: 1) \(\sqrt{x + 2\sqrt{x - 1}} + \sqrt{x - 2\sqrt{x - 1}} = 6\); 2) \(\sqrt{x + 6 + 2\sqrt{x + 5}} - \sqrt{x + 6 - 2\sqrt{x + 5}} = 2\).
1) ОДЗ: \(M = [1;\ +\infty)\). Под каждым внешним радикалом выделим квадрат двучлена:
\[x + 2\sqrt{x - 1} = (x - 1) + 2\sqrt{x - 1} + 1 = \left(\sqrt{x - 1} + 1\right)^2,\]
\[x - 2\sqrt{x - 1} = (x - 1) - 2\sqrt{x - 1} + 1 = \left(\sqrt{x - 1} - 1\right)^2.\]
Обозначим \(t = \sqrt{x - 1}\), где \(t \geqslant 0\). Так как \(\sqrt{t^2} = |t|\) и \(t + 1 > 0\), уравнение принимает вид \(t + 1 + |t - 1| = 6\).
При \(0 \leqslant t \leqslant 1\): \((t + 1) + (1 - t) = 6\), то есть \(2 = 6\) — неверное равенство.
При \(t > 1\): \((t + 1) + (t - 1) = 6\); \(2t = 6\); \(t = 3\) — это значение промежутку принадлежит.
\(\sqrt{x - 1} = 3\); \(x - 1 = 9\); \(x = 10\).
2) ОДЗ: \(M = [-5;\ +\infty)\). Выделим квадраты двучленов:
\[x + 6 + 2\sqrt{x + 5} = (x + 5) + 2\sqrt{x + 5} + 1 = \left(\sqrt{x + 5} + 1\right)^2,\]
\[x + 6 - 2\sqrt{x + 5} = (x + 5) - 2\sqrt{x + 5} + 1 = \left(\sqrt{x + 5} - 1\right)^2.\]
Обозначим \(t = \sqrt{x + 5}\), где \(t \geqslant 0\); уравнение принимает вид \(t + 1 - |t - 1| = 2\).
При \(0 \leqslant t < 1\): \((t + 1) - (1 - t) = 2\); \(2t = 2\); \(t = 1\) — этому промежутку число не принадлежит.
При \(t \geqslant 1\): \((t + 1) - (t - 1) = 2\), то есть \(2 = 2\) — верное равенство при каждом таком \(t\).
Значит, \(\sqrt{x + 5} \geqslant 1\), откуда \(x + 5 \geqslant 1\) и \(x \geqslant -4\).
Ответ: 1) 10; 2) все числа промежутка \([-4;\ +\infty)\).
Решите уравнение: 1) \(\sqrt{x + 2\sqrt{x - 1}} + \sqrt{x - 2\sqrt{x - 1}} = 6\); 2) \(\sqrt{x + 6 + 2\sqrt{x + 5}} - \sqrt{x + 6 - 2\sqrt{x + 5}} = 2\).
1) \(\sqrt{x + 2\sqrt{x - 1}} + \sqrt{x - 2\sqrt{x - 1}} = 6\).
Областью определения уравнения является множество \(M = [1;\ +\infty)\). Выделим под каждым внешним радикалом квадрат двучлена:
\[x + 2\sqrt{x - 1} = (x - 1) + 2\sqrt{x - 1} + 1 = \left(\sqrt{x - 1} + 1\right)^2,\]
\[x - 2\sqrt{x - 1} = (x - 1) - 2\sqrt{x - 1} + 1 = \left(\sqrt{x - 1} - 1\right)^2.\]
Обозначим \(t = \sqrt{x - 1}\), где \(t \geqslant 0\). По свойству корня \(\sqrt{t^2} = |t|\) и с учётом \(t + 1 > 0\) уравнение принимает вид \(t + 1 + |t - 1| = 6\).
При \(0 \leqslant t \leqslant 1\) получаем \((t + 1) + (1 - t) = 6\), то есть \(2 = 6\) — неверное равенство.
При \(t > 1\) получаем \((t + 1) + (t - 1) = 6\); \(2t = 6\); \(t = 3\) — это значение промежутку принадлежит.
Осталось решить уравнение \(\sqrt{x - 1} = 3\): \(x - 1 = 9\); \(x = 10\).
2) \(\sqrt{x + 6 + 2\sqrt{x + 5}} - \sqrt{x + 6 - 2\sqrt{x + 5}} = 2\).
Областью определения уравнения является множество \(M = [-5;\ +\infty)\). Выделим квадраты двучленов:
\[x + 6 + 2\sqrt{x + 5} = (x + 5) + 2\sqrt{x + 5} + 1 = \left(\sqrt{x + 5} + 1\right)^2,\]
\[x + 6 - 2\sqrt{x + 5} = (x + 5) - 2\sqrt{x + 5} + 1 = \left(\sqrt{x + 5} - 1\right)^2.\]
Обозначим \(t = \sqrt{x + 5}\), где \(t \geqslant 0\); уравнение принимает вид \(t + 1 - |t - 1| = 2\).
При \(0 \leqslant t < 1\) получаем \((t + 1) - (1 - t) = 2\); \(2t = 2\); \(t = 1\) — этому промежутку число не принадлежит.
При \(t \geqslant 1\) получаем \((t + 1) - (t - 1) = 2\), то есть \(2 = 2\) — верное равенство при каждом таком \(t\).
Значит, \(\sqrt{x + 5} \geqslant 1\), откуда \(x + 5 \geqslant 1\) и \(x \geqslant -4\).
Ответ: 1) 10; 2) все числа промежутка \([-4;\ +\infty)\).
