Страница 117 номер 14.14, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Решите уравнение: 1) \(\sqrt{x - 1 - 2\sqrt{x - 2}} + \sqrt{x + 7 - 6\sqrt{x - 2}} = 6\); 2) \(\sqrt{x + 3 - 4\sqrt{x - 1}} + \sqrt{x + 8 - 6\sqrt{x - 1}} = 1\); 3) \(\sqrt{x + 2 + 2\sqrt{x + 1}} - \sqrt{x + 5 - 4\sqrt{x + 1}} = 4\).
1) ОДЗ: \(M = [2;\ +\infty)\). Под каждым внешним радикалом выделим квадрат двучлена:
\[x - 1 - 2\sqrt{x - 2} = (x - 2) - 2\sqrt{x - 2} + 1 = \left(\sqrt{x - 2} - 1\right)^2,\] \[x + 7 - 6\sqrt{x - 2} = (x - 2) - 6\sqrt{x - 2} + 9 = \left(\sqrt{x - 2} - 3\right)^2.\]
Так как \(\sqrt{t^2} = |t|\), уравнение принимает вид
\[\left|\sqrt{x - 2} - 1\right| + \left|\sqrt{x - 2} - 3\right| = 6.\]
Обозначим \(t = \sqrt{x - 2}\), где \(t \geqslant 0\): \(|t - 1| + |t - 3| = 6\).
При \(0 \leqslant t < 1\) оба модуля раскрываются со знаком «минус»: \((1 - t) + (3 - t) = 6\); \(4 - 2t = 6\); \(t = -1\) — этому промежутку число не принадлежит.
При \(1 \leqslant t \leqslant 3\): \((t - 1) + (3 - t) = 6\), то есть \(2 = 6\) — неверное равенство, корней нет.
При \(t > 3\): \((t - 1) + (t - 3) = 6\); \(2t = 10\); \(t = 5\) — это значение промежутку принадлежит.
\(\sqrt{x - 2} = 5\); \(x - 2 = 25\); \(x = 27\).
2) ОДЗ: \(M = [1;\ +\infty)\). Выделим квадраты двучленов:
\[x + 3 - 4\sqrt{x - 1} = (x - 1) - 4\sqrt{x - 1} + 4 = \left(\sqrt{x - 1} - 2\right)^2,\] \[x + 8 - 6\sqrt{x - 1} = (x - 1) - 6\sqrt{x - 1} + 9 = \left(\sqrt{x - 1} - 3\right)^2.\]
Обозначим \(t = \sqrt{x - 1}\), где \(t \geqslant 0\); уравнение принимает вид \(|t - 2| + |t - 3| = 1\).
При \(0 \leqslant t < 2\): \((2 - t) + (3 - t) = 1\); \(t = 2\) — этому промежутку число не принадлежит.
При \(2 \leqslant t \leqslant 3\): \((t - 2) + (3 - t) = 1\), то есть \(1 = 1\) — верное равенство при каждом таком \(t\).
При \(t > 3\): \((t - 2) + (t - 3) = 1\); \(t = 3\) — этому промежутку число не принадлежит.
Значит, \(2 \leqslant \sqrt{x - 1} \leqslant 3\), откуда \(4 \leqslant x - 1 \leqslant 9\) и \(5 \leqslant x \leqslant 10\).
3) ОДЗ: \(M = [-1;\ +\infty)\). Выделим квадраты двучленов:
\[x + 2 + 2\sqrt{x + 1} = (x + 1) + 2\sqrt{x + 1} + 1 = \left(\sqrt{x + 1} + 1\right)^2,\] \[x + 5 - 4\sqrt{x + 1} = (x + 1) - 4\sqrt{x + 1} + 4 = \left(\sqrt{x + 1} - 2\right)^2.\]
Обозначим \(t = \sqrt{x + 1}\), где \(t \geqslant 0\). Так как \(t + 1 > 0\), уравнение принимает вид \(t + 1 - |t - 2| = 4\).
При \(0 \leqslant t \leqslant 2\): \((t + 1) - (2 - t) = 4\); \(2t = 5\); \(t = 2{,}5\) — этому промежутку число не принадлежит.
При \(t > 2\): \((t + 1) - (t - 2) = 4\), то есть \(3 = 4\) — неверное равенство.
Значит, уравнение корней не имеет.
Ответ: 1) 27; 2) все числа промежутка \([5;\ 10]\); 3) корней нет.
Решите уравнение: 1) \(\sqrt{x - 1 - 2\sqrt{x - 2}} + \sqrt{x + 7 - 6\sqrt{x - 2}} = 6\); 2) \(\sqrt{x + 3 - 4\sqrt{x - 1}} + \sqrt{x + 8 - 6\sqrt{x - 1}} = 1\); 3) \(\sqrt{x + 2 + 2\sqrt{x + 1}} - \sqrt{x + 5 - 4\sqrt{x + 1}} = 4\).
1) \(\sqrt{x - 1 - 2\sqrt{x - 2}} + \sqrt{x + 7 - 6\sqrt{x - 2}} = 6\).
Областью определения уравнения является множество \(M = [2;\ +\infty)\). Выделим под каждым внешним радикалом квадрат двучлена:
\[x - 1 - 2\sqrt{x - 2} = (x - 2) - 2\sqrt{x - 2} + 1 = \left(\sqrt{x - 2} - 1\right)^2,\] \[x + 7 - 6\sqrt{x - 2} = (x - 2) - 6\sqrt{x - 2} + 9 = \left(\sqrt{x - 2} - 3\right)^2.\]
По свойству корня \(\sqrt{t^2} = |t|\) уравнение принимает вид
\[\left|\sqrt{x - 2} - 1\right| + \left|\sqrt{x - 2} - 3\right| = 6.\]
Обозначим \(t = \sqrt{x - 2}\), где \(t \geqslant 0\): \(|t - 1| + |t - 3| = 6\).
При \(0 \leqslant t < 1\) оба модуля раскрываются со знаком «минус»: \((1 - t) + (3 - t) = 6\); \(4 - 2t = 6\); \(t = -1\) — этому промежутку число не принадлежит.
При \(1 \leqslant t \leqslant 3\) получаем \((t - 1) + (3 - t) = 6\), то есть \(2 = 6\) — неверное равенство, корней нет.
При \(t > 3\) получаем \((t - 1) + (t - 3) = 6\); \(2t = 10\); \(t = 5\) — это значение промежутку принадлежит.
Осталось решить уравнение \(\sqrt{x - 2} = 5\): \(x - 2 = 25\); \(x = 27\).
2) \(\sqrt{x + 3 - 4\sqrt{x - 1}} + \sqrt{x + 8 - 6\sqrt{x - 1}} = 1\).
Областью определения уравнения является множество \(M = [1;\ +\infty)\). Выделим квадраты двучленов:
\[x + 3 - 4\sqrt{x - 1} = (x - 1) - 4\sqrt{x - 1} + 4 = \left(\sqrt{x - 1} - 2\right)^2,\] \[x + 8 - 6\sqrt{x - 1} = (x - 1) - 6\sqrt{x - 1} + 9 = \left(\sqrt{x - 1} - 3\right)^2.\]
Обозначим \(t = \sqrt{x - 1}\), где \(t \geqslant 0\); уравнение принимает вид \(|t - 2| + |t - 3| = 1\).
При \(0 \leqslant t < 2\) получаем \((2 - t) + (3 - t) = 1\); \(t = 2\) — этому промежутку число не принадлежит.
При \(2 \leqslant t \leqslant 3\) получаем \((t - 2) + (3 - t) = 1\), то есть \(1 = 1\) — верное равенство при каждом таком \(t\).
При \(t > 3\) получаем \((t - 2) + (t - 3) = 1\); \(t = 3\) — этому промежутку число не принадлежит.
Значит, \(2 \leqslant \sqrt{x - 1} \leqslant 3\), откуда \(4 \leqslant x - 1 \leqslant 9\) и \(5 \leqslant x \leqslant 10\).
3) \(\sqrt{x + 2 + 2\sqrt{x + 1}} - \sqrt{x + 5 - 4\sqrt{x + 1}} = 4\).
Областью определения уравнения является множество \(M = [-1;\ +\infty)\). Выделим квадраты двучленов:
\[x + 2 + 2\sqrt{x + 1} = (x + 1) + 2\sqrt{x + 1} + 1 = \left(\sqrt{x + 1} + 1\right)^2,\] \[x + 5 - 4\sqrt{x + 1} = (x + 1) - 4\sqrt{x + 1} + 4 = \left(\sqrt{x + 1} - 2\right)^2.\]
Обозначим \(t = \sqrt{x + 1}\), где \(t \geqslant 0\). Так как \(t + 1 > 0\), уравнение принимает вид \(t + 1 - |t - 2| = 4\).
При \(0 \leqslant t \leqslant 2\) получаем \((t + 1) - (2 - t) = 4\); \(2t = 5\); \(t = 2{,}5\) — этому промежутку число не принадлежит.
При \(t > 2\) получаем \((t + 1) - (t - 2) = 4\), то есть \(3 = 4\) — неверное равенство.
Значит, уравнение корней не имеет.
Ответ: 1) 27; 2) все числа промежутка \([5;\ 10]\); 3) корней нет.
