Страница 117 номер 14.13, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Решите уравнение: 1) \(\sqrt{x + 2} + \sqrt{3x + 7} = \sqrt{8 - x}\); 2) \(\sqrt{6x - 11} - \sqrt{x - 2} = \sqrt{x + 3}\).
1) ОДЗ: \(M = [-2;\ 8]\). Обе части на \(M\) неотрицательны, поэтому
\[x + 2 + 2\sqrt{(x + 2)(3x + 7)} + 3x + 7 = 8 - x.\]
Отсюда \(2\sqrt{(x + 2)(3x + 7)} = -5x - 1\). Левая часть неотрицательна, поэтому \(-5x - 1 \geqslant 0\), то есть \(x \leqslant -\frac{1}{5}\). На множестве \(M_1 = \left[-2;\ -\frac{1}{5}\right]\) обе части неотрицательны, и уравнение равносильно системе
\[\begin{cases} 4(x + 2)(3x + 7) = (5x + 1)^2, \\ -2 \leqslant x \leqslant -\frac{1}{5}. \end{cases}\]
\(12x^2 + 52x + 56 = 25x^2 + 10x + 1\); \(13x^2 - 42x - 55 = 0\); \(D = 1764 + 2860 = 4624\); \(\sqrt{4624} = 68\); \(x = \frac{42 \pm 68}{26}\), то есть \(x = \frac{55}{13}\) или \(x = -1\). Множеству \(M_1\) принадлежит только \(x = -1\).
2) ОДЗ: \(M = [2;\ +\infty)\). Уравнение равносильно уравнению \(\sqrt{6x - 11} = \sqrt{x - 2} + \sqrt{x + 3}\); обе части на \(M\) неотрицательны, поэтому
\[6x - 11 = x - 2 + 2\sqrt{(x - 2)(x + 3)} + x + 3.\]
Отсюда \(4x - 12 = 2\sqrt{(x - 2)(x + 3)}\); \(2x - 6 = \sqrt{(x - 2)(x + 3)}\). Правая часть неотрицательна, поэтому \(2x - 6 \geqslant 0\), то есть \(x \geqslant 3\). На множестве \(M_1 = [3;\ +\infty)\) обе части неотрицательны, и уравнение равносильно системе
\[\begin{cases} (2x - 6)^2 = (x - 2)(x + 3), \\ x \geqslant 3. \end{cases}\]
\(4x^2 - 24x + 36 = x^2 + x - 6\); \(3x^2 - 25x + 42 = 0\); \(D = 625 - 504 = 121\); \(x = \frac{25 \pm 11}{6}\), то есть \(x = 6\) или \(x = \frac{7}{3}\). Условию \(x \geqslant 3\) удовлетворяет только \(x = 6\).
Ответ: 1) \(-1\); 2) 6.
Решите уравнение: 1) \(\sqrt{x + 2} + \sqrt{3x + 7} = \sqrt{8 - x}\); 2) \(\sqrt{6x - 11} - \sqrt{x - 2} = \sqrt{x + 3}\).
1) \(\sqrt{x + 2} + \sqrt{3x + 7} = \sqrt{8 - x}\).
Областью определения уравнения является множество \(M = [-2;\ 8]\). Обе части на \(M\) неотрицательны, поэтому возведём их в квадрат:
\[x + 2 + 2\sqrt{(x + 2)(3x + 7)} + 3x + 7 = 8 - x.\]
Отсюда \(2\sqrt{(x + 2)(3x + 7)} = -5x - 1\). Левая часть неотрицательна, поэтому \(-5x - 1 \geqslant 0\), то есть \(x \leqslant -\frac{1}{5}\). На множестве \(M_1 = \left[-2;\ -\frac{1}{5}\right]\) обе части неотрицательны, и уравнение равносильно системе
\[\begin{cases} 4(x + 2)(3x + 7) = (5x + 1)^2, \\ -2 \leqslant x \leqslant -\frac{1}{5}. \end{cases}\]
Из первого уравнения \(12x^2 + 52x + 56 = 25x^2 + 10x + 1\); \(13x^2 - 42x - 55 = 0\); \(D = 1764 + 2860 = 4624\); \(\sqrt{4624} = 68\); \(x = \frac{42 \pm 68}{26}\), то есть \(x = \frac{55}{13}\) или \(x = -1\). Множеству \(M_1\) принадлежит только \(x = -1\).
2) \(\sqrt{6x - 11} - \sqrt{x - 2} = \sqrt{x + 3}\).
Областью определения уравнения является множество \(M = [2;\ +\infty)\). Данное уравнение равносильно уравнению \(\sqrt{6x - 11} = \sqrt{x - 2} + \sqrt{x + 3}\); обе его части на \(M\) неотрицательны, поэтому возведём их в квадрат:
\[6x - 11 = x - 2 + 2\sqrt{(x - 2)(x + 3)} + x + 3.\]
Отсюда \(4x - 12 = 2\sqrt{(x - 2)(x + 3)}\); \(2x - 6 = \sqrt{(x - 2)(x + 3)}\). Правая часть неотрицательна, поэтому \(2x - 6 \geqslant 0\), то есть \(x \geqslant 3\). На множестве \(M_1 = [3;\ +\infty)\) обе части неотрицательны, и уравнение равносильно системе
\[\begin{cases} (2x - 6)^2 = (x - 2)(x + 3), \\ x \geqslant 3. \end{cases}\]
Из первого уравнения \(4x^2 - 24x + 36 = x^2 + x - 6\); \(3x^2 - 25x + 42 = 0\); \(D = 625 - 504 = 121\); \(x = \frac{25 \pm 11}{6}\), то есть \(x = 6\) или \(x = \frac{7}{3}\). Условию \(x \geqslant 3\) удовлетворяет только \(x = 6\).
Ответ: 1) \(-1\); 2) 6.
