Страница 117 номер 14.12, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Решите уравнение: 1) \(\sqrt{2x + 1} + \sqrt{x - 3} = 2\sqrt{x}\); 2) \(\sqrt{5x - 1} - \sqrt{3x - 2} = \sqrt{x - 1}\); 3) \(2\sqrt{3x - 1} - \sqrt{x - 1} = \sqrt{x - 9}\); 4) \(\sqrt{x + 1} - \sqrt{9 - x} = \sqrt{2x - 12}\).
1) ОДЗ: \(M = [3;\ +\infty)\). Обе части на \(M\) неотрицательны, поэтому
\[2x + 1 + 2\sqrt{(2x + 1)(x - 3)} + x - 3 = 4x.\]
Отсюда \(2\sqrt{(2x + 1)(x - 3)} = x + 2\); на \(M\) обе части последнего уравнения неотрицательны, поэтому оно равносильно на \(M\) уравнению
\[4(2x + 1)(x - 3) = (x + 2)^2.\]
\(8x^2 - 20x - 12 = x^2 + 4x + 4\); \(7x^2 - 24x - 16 = 0\); \(D = 576 + 448 = 1024\); \(x = \frac{24 \pm 32}{14}\), то есть \(x = 4\) или \(x = -\frac{4}{7}\). Множеству \(M\) принадлежит только \(x = 4\).
2) ОДЗ: \(M = [1;\ +\infty)\). Уравнение равносильно уравнению \(\sqrt{5x - 1} = \sqrt{3x - 2} + \sqrt{x - 1}\); обе части на \(M\) неотрицательны, поэтому
\[5x - 1 = 3x - 2 + 2\sqrt{(3x - 2)(x - 1)} + x - 1.\]
Отсюда \(x + 2 = 2\sqrt{(3x - 2)(x - 1)}\); на \(M\) обе части неотрицательны, поэтому
\[(x + 2)^2 = 4(3x - 2)(x - 1).\]
\(x^2 + 4x + 4 = 12x^2 - 20x + 8\); \(11x^2 - 24x + 4 = 0\); \(D = 576 - 176 = 400\); \(x = \frac{24 \pm 20}{22}\), то есть \(x = 2\) или \(x = \frac{2}{11}\). Множеству \(M\) принадлежит только \(x = 2\).
3) ОДЗ: \(M = [9;\ +\infty)\). Уравнение равносильно уравнению \(2\sqrt{3x - 1} = \sqrt{x - 1} + \sqrt{x - 9}\); обе части на \(M\) неотрицательны, поэтому
\[4(3x - 1) = x - 1 + 2\sqrt{(x - 1)(x - 9)} + x - 9.\]
Отсюда \(10x + 6 = 2\sqrt{(x - 1)(x - 9)}\); \(5x + 3 = \sqrt{(x - 1)(x - 9)}\); на \(M\) обе части неотрицательны, поэтому
\[(5x + 3)^2 = (x - 1)(x - 9).\]
\(25x^2 + 30x + 9 = x^2 - 10x + 9\); \(24x^2 + 40x = 0\); \(8x(3x + 5) = 0\); \(x = 0\) или \(x = -\frac{5}{3}\). Ни одно из этих чисел множеству \(M\) не принадлежит, значит, уравнение корней не имеет.
4) ОДЗ: \(M = [6;\ 9]\). Уравнение равносильно уравнению \(\sqrt{x + 1} = \sqrt{9 - x} + \sqrt{2x - 12}\); обе части на \(M\) неотрицательны, поэтому
\[x + 1 = 9 - x + 2\sqrt{(9 - x)(2x - 12)} + 2x - 12.\]
Отсюда \(\sqrt{(9 - x)(2x - 12)} = 2\); обе части неотрицательны, поэтому
\[\begin{gathered} (9 - x)(2x - 12) = 4; \\ x^2 - 15x + 56 = 0. \end{gathered}\]
Его корни \(x = 7\) и \(x = 8\) — оба принадлежат множеству \(M\).
Ответ: 1) 4; 2) 2; 3) корней нет; 4) 7; 8.
Решите уравнение: 1) \(\sqrt{2x + 1} + \sqrt{x - 3} = 2\sqrt{x}\); 2) \(\sqrt{5x - 1} - \sqrt{3x - 2} = \sqrt{x - 1}\); 3) \(2\sqrt{3x - 1} - \sqrt{x - 1} = \sqrt{x - 9}\); 4) \(\sqrt{x + 1} - \sqrt{9 - x} = \sqrt{2x - 12}\).
1) \(\sqrt{2x + 1} + \sqrt{x - 3} = 2\sqrt{x}\).
Областью определения уравнения является множество \(M = [3;\ +\infty)\). Обе части на \(M\) неотрицательны, поэтому возведём их в квадрат:
\[2x + 1 + 2\sqrt{(2x + 1)(x - 3)} + x - 3 = 4x.\]
Отсюда \(2\sqrt{(2x + 1)(x - 3)} = x + 2\). На множестве \(M\) обе части последнего уравнения неотрицательны, поэтому оно равносильно на \(M\) уравнению
\[4(2x + 1)(x - 3) = (x + 2)^2.\]
Отсюда \(8x^2 - 20x - 12 = x^2 + 4x + 4\); \(7x^2 - 24x - 16 = 0\); \(D = 576 + 448 = 1024\); \(x = \frac{24 \pm 32}{14}\), то есть \(x = 4\) или \(x = -\frac{4}{7}\). Множеству \(M\) принадлежит только \(x = 4\).
2) \(\sqrt{5x - 1} - \sqrt{3x - 2} = \sqrt{x - 1}\).
Областью определения уравнения является множество \(M = [1;\ +\infty)\). Данное уравнение равносильно уравнению \(\sqrt{5x - 1} = \sqrt{3x - 2} + \sqrt{x - 1}\); обе его части на \(M\) неотрицательны, поэтому возведём их в квадрат:
\[5x - 1 = 3x - 2 + 2\sqrt{(3x - 2)(x - 1)} + x - 1.\]
Отсюда \(x + 2 = 2\sqrt{(3x - 2)(x - 1)}\). На множестве \(M\) обе части неотрицательны, поэтому
\[(x + 2)^2 = 4(3x - 2)(x - 1).\]
Отсюда \(x^2 + 4x + 4 = 12x^2 - 20x + 8\); \(11x^2 - 24x + 4 = 0\); \(D = 576 - 176 = 400\); \(x = \frac{24 \pm 20}{22}\), то есть \(x = 2\) или \(x = \frac{2}{11}\). Множеству \(M\) принадлежит только \(x = 2\).
3) \(2\sqrt{3x - 1} - \sqrt{x - 1} = \sqrt{x - 9}\).
Областью определения уравнения является множество \(M = [9;\ +\infty)\). Данное уравнение равносильно уравнению \(2\sqrt{3x - 1} = \sqrt{x - 1} + \sqrt{x - 9}\); обе его части на \(M\) неотрицательны, поэтому возведём их в квадрат:
\[4(3x - 1) = x - 1 + 2\sqrt{(x - 1)(x - 9)} + x - 9.\]
Отсюда \(10x + 6 = 2\sqrt{(x - 1)(x - 9)}\); \(5x + 3 = \sqrt{(x - 1)(x - 9)}\). На множестве \(M\) обе части неотрицательны, поэтому
\[(5x + 3)^2 = (x - 1)(x - 9).\]
Отсюда \(25x^2 + 30x + 9 = x^2 - 10x + 9\); \(24x^2 + 40x = 0\); \(8x(3x + 5) = 0\); \(x = 0\) или \(x = -\frac{5}{3}\). Ни одно из этих чисел множеству \(M\) не принадлежит, значит, уравнение корней не имеет.
4) \(\sqrt{x + 1} - \sqrt{9 - x} = \sqrt{2x - 12}\).
Областью определения уравнения является множество \(M = [6;\ 9]\). Данное уравнение равносильно уравнению \(\sqrt{x + 1} = \sqrt{9 - x} + \sqrt{2x - 12}\); обе его части на \(M\) неотрицательны, поэтому возведём их в квадрат:
\[x + 1 = 9 - x + 2\sqrt{(9 - x)(2x - 12)} + 2x - 12.\]
Отсюда \(\sqrt{(9 - x)(2x - 12)} = 2\). Обе части неотрицательны, поэтому
\[\begin{gathered} (9 - x)(2x - 12) = 4; \\ x^2 - 15x + 56 = 0. \end{gathered}\]
Его корни \(x = 7\) и \(x = 8\); оба принадлежат множеству \(M\).
Ответ: 1) 4; 2) 2; 3) корней нет; 4) 7; 8.
