Страница 117 номер 14.11, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа

1) \(\sqrt{4 - x} + \sqrt{x + 5} = 3\).

Областью определения уравнения является множество \(M = [-5;\ 4]\). Обе части на \(M\) неотрицательны, поэтому возведём их в квадрат:

\[4 - x + 2\sqrt{(4 - x)(x + 5)} + x + 5 = 9.\]

Отсюда \(2\sqrt{(4 - x)(x + 5)} = 0\); \((4 - x)(x + 5) = 0\); \(x = 4\) или \(x = -5\). Оба числа принадлежат множеству \(M\).

2) \(\sqrt{5x + 1} + \sqrt{7 - x} = 6\).

Областью определения уравнения является множество \(M = \left[-\frac{1}{5};\ 7\right]\). Обе части на \(M\) неотрицательны, поэтому возведём их в квадрат:

\[5x + 1 + 2\sqrt{(5x + 1)(7 - x)} + 7 - x = 36.\]

Отсюда \(\sqrt{(5x + 1)(7 - x)} = 14 - 2x\). На множестве \(M\) правая часть неотрицательна (так как \(x \leqslant 7\)), поэтому уравнение равносильно на \(M\) уравнению

\[(5x + 1)(7 - x) = (14 - 2x)^2.\]

Отсюда \(-5x^2 + 34x + 7 = 4x^2 - 56x + 196\); \(9x^2 - 90x + 189 = 0\); \(x^2 - 10x + 21 = 0\); \(x = 3\) или \(x = 7\). Оба числа принадлежат множеству \(M\).

Ответ: 1) \(-5\); 4; 2) 3; 7.