Вопросы после параграфа §14 на странице 116, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начало математического анализа
1. Какое уравнение называют иррациональным? 2. Сформулируйте теоремы о равносильных переходах при решении иррациональных уравнений. 3. Как можно выявить посторонние корни уравнения?
Иррациональным называют уравнение, в котором переменная содержится под знаком корня: \(\sqrt{x - 3} = 2\), \(\sqrt{x} - 2\sqrt[4]{x} + 1 = 0\), \(\sqrt{3 - x} = \sqrt[3]{2 + x}\).
Уравнение \(\sqrt{5} \cdot x = 1\) иррациональным не является: переменная в нём под знаком корня не стоит.
Ответ: уравнение, в котором переменная содержится под знаком корня, например \(\sqrt{x - 3} = 2\).
Возведение обеих частей уравнения в нечётную степень даёт уравнение, равносильное данному: \(\sqrt[7]{f(x)} = \sqrt[7]{g(x)}\) равносильно \(f(x) = g(x)\).
Уравнение \(\sqrt{f(x)} = \sqrt{g(x)}\) равносильно системе, в которой вторым условием берут то из неравенств \(f(x) \geqslant 0\), \(g(x) \geqslant 0\), которое решить легче:
\[\begin{cases} f(x) = g(x), \\ f(x) \geqslant 0. \end{cases}\]
Уравнение \(\sqrt{f(x)} = g(x)\) равносильно системе
\[\begin{cases} f(x) = \left(g(x)\right)^2, \\ g(x) \geqslant 0. \end{cases}\]
Если для любого \(x\) из множества \(M\) выполняются неравенства \(f(x) \geqslant 0\) и \(g(x) \geqslant 0\), то уравнения \(f(x) = g(x)\) и \(\left(f(x)\right)^{2k} = \left(g(x)\right)^{2k}\), где \(k \in \mathbf{N}\), равносильны на \(M\) — эта теорема и разрешает возводить в квадрат уравнение с несколькими корнями на множестве, где обе его части неотрицательны.
Само по себе возведение обеих частей в чётную степень равносильности не даёт: получается уравнение-следствие, у которого могут появиться посторонние корни.
Ответ: возведение обеих частей в нечётную степень даёт равносильное уравнение; \(\sqrt{f(x)} = \sqrt{g(x)}\) равносильно системе \(\begin{cases} f(x) = g(x), \\ f(x) \geqslant 0; \end{cases}\) \(\sqrt{f(x)} = g(x)\) равносильно системе \(\begin{cases} f(x) = \left(g(x)\right)^2, \\ g(x) \geqslant 0; \end{cases}\) на множестве, где обе части неотрицательны, возведение их в чётную степень тоже даёт равносильное уравнение.
Посторонние корни появляются, когда равносильность была нарушена и произошёл переход к уравнению-следствию (например, обе части возвели в чётную степень): множество его корней шире. Поэтому каждое найденное число подставляют в данное уравнение: получилось верное числовое равенство — число является корнем; равенство неверное или выражение под знаком корня чётной степени отрицательно — число является посторонним корнем.
Например, для уравнения \(\sqrt{4 + 3x} = x\) возведение в квадрат даёт следствие \(4 + 3x = x^2\) с корнями \(-1\) и 4. Подстановка \(x = -1\) даёт \(1 = -1\) — равенство неверное, значит, \(-1\) — посторонний корень; подстановка \(x = 4\) даёт \(\sqrt{16} = 4\) — равенство верное.
Когда проверка технически тяжела, вместо неё пользуются равносильными переходами к системе: тогда посторонние корни не появляются.
Ответ: проверкой — подстановкой каждого найденного числа в данное уравнение: те числа, при которых получается неверное равенство, и есть посторонние корни.
1. Какое уравнение называют иррациональным? 2. Сформулируйте теоремы о равносильных переходах при решении иррациональных уравнений. 3. Как можно выявить посторонние корни уравнения?
Иррациональным называют уравнение, в котором переменная содержится под знаком корня.
Например, иррациональными являются уравнения \(\sqrt{x - 3} = 2\), \(\sqrt{x} - 2\sqrt[4]{x} + 1 = 0\), \(\sqrt{3 - x} = \sqrt[3]{2 + x}\).
А вот уравнение \(\sqrt{5} \cdot x = 1\) иррациональным не является: переменная в нём под знаком корня не стоит, корень стоит только у числового множителя.
Ответ: уравнение, в котором переменная содержится под знаком корня, например \(\sqrt{x - 3} = 2\).
Первая теорема относится к возведению в нечётную степень: если обе части уравнения возвести в нечётную степень, то получится уравнение, равносильное данному. Она позволяет сразу освободиться от корней нечётной степени: уравнение \(\sqrt[7]{f(x)} = \sqrt[7]{g(x)}\) равносильно уравнению \(f(x) = g(x)\).
Вторая теорема относится к уравнению вида \(\sqrt{f(x)} = \sqrt{g(x)}\): оно равносильно системе
\[\begin{cases} f(x) = g(x), \\ f(x) \geqslant 0. \end{cases}\]
Это уравнение равносильно и системе, в которой второе условие записано для другого подкоренного выражения: \(g(x) \geqslant 0\). Выбирают то из двух неравенств, которое решить легче.
Третья теорема относится к уравнению вида \(\sqrt{f(x)} = g(x)\): оно равносильно системе
\[\begin{cases} f(x) = \left(g(x)\right)^2, \\ g(x) \geqslant 0. \end{cases}\]
Четвёртая теорема обобщает две предыдущие: если для любого \(x\) из множества \(M\) выполняются неравенства \(f(x) \geqslant 0\) и \(g(x) \geqslant 0\), то уравнения \(f(x) = g(x)\) и \(\left(f(x)\right)^{2k} = \left(g(x)\right)^{2k}\), где \(k \in \mathbf{N}\), равносильны на множестве \(M\). Именно она разрешает возводить в квадрат уравнение с несколькими корнями — на том множестве, где обе его части неотрицательны.
Само же по себе возведение обеих частей в чётную степень равносильности не даёт: получается лишь уравнение-следствие, у которого могут появиться посторонние корни.
Ответ: возведение обеих частей в нечётную степень даёт равносильное уравнение; \(\sqrt{f(x)} = \sqrt{g(x)}\) равносильно системе \(\begin{cases} f(x) = g(x), \\ f(x) \geqslant 0; \end{cases}\) \(\sqrt{f(x)} = g(x)\) равносильно системе \(\begin{cases} f(x) = \left(g(x)\right)^2, \\ g(x) \geqslant 0; \end{cases}\) на множестве, где обе части неотрицательны, возведение их в чётную степень тоже даёт равносильное уравнение.
Посторонние корни появляются тогда, когда в ходе решения равносильность была нарушена и произошёл переход к уравнению-следствию (например, обе части возвели в чётную степень). Множество корней уравнения-следствия шире множества корней данного уравнения, поэтому каждое найденное число надо проверить — подставить в данное уравнение. Если получилось верное числовое равенство, число является корнем; если равенство неверное или выражение под знаком корня чётной степени отрицательно, число — посторонний корень.
Например, при решении уравнения \(\sqrt{4 + 3x} = x\) возведение обеих частей в квадрат даёт уравнение-следствие \(4 + 3x = x^2\) с корнями \(-1\) и 4. Подстановка \(x = -1\) даёт в левой части \(\sqrt{4 - 3} = 1\), а в правой \(-1\), то есть равенство \(1 = -1\) — неверное, значит, \(-1\) — посторонний корень; подстановка \(x = 4\) даёт \(\sqrt{16} = 4\) — верное равенство.
Когда проверка технически тяжела (например, корень иррациональный), вместо неё пользуются равносильными переходами к системе: тогда посторонние корни просто не появляются, а условие системы само отбирает нужные значения.
Ответ: проверкой — подстановкой каждого найденного числа в данное уравнение: те числа, при которых получается неверное равенство, и есть посторонние корни.
