Страница 106 номер 13.9, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Раскройте скобки: 1) \(\left(a^{0{,}5} - 3b^{0{,}3}\right)\left(2a^{0{,}5} + b^{0{,}3}\right)\); 2) \(\left(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}\right)^2\); 3) \(\left(b^{0{,}4} + 3\right)^2 - 6b^{0{,}4}\); 4) \(\left(a^{\frac{1}{3}} + a^{\frac{1}{2}}\right)\left(a^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{5}{6}} + a\right)\); 5) \(\left(a^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{1}{6}}\right)\left(a^{\frac{1}{6}} - b^{\frac{1}{6}}\right)\left(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}\right)\); 6) \(\left(x^{\frac{2}{9}} - 1\right)\left(x^{\frac{4}{9}} + x^{\frac{2}{9}} + 1\right)\left(x^{\frac{2}{3}} + 1\right)\).
Свойства степени с рациональным показателем доказаны для положительного основания, поэтому основания всех степеней считаем положительными.
1) \[\begin{aligned} &\left(a^{0{,}5} - 3b^{0{,}3}\right)\left(2a^{0{,}5} + b^{0{,}3}\right) = {} \\ &= 2a + a^{0{,}5}b^{0{,}3} - 6a^{0{,}5}b^{0{,}3} - 3b^{0{,}6} = {} \\ &= 2a - 5a^{0{,}5}b^{0{,}3} - 3b^{0{,}6}. \end{aligned}\]
2) \[\left(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}\right)^2 = a^{\frac{2}{3}} + 2a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}.\]
3) \[\left(b^{0{,}4} + 3\right)^2 - 6b^{0{,}4} = b^{0{,}8} + 6b^{0{,}4} + 9 - 6b^{0{,}4} = b^{0{,}8} + 9.\]
4) Второй множитель — неполный квадрат разности выражений \(a^{\frac{1}{3}}\) и \(a^{\frac{1}{2}}\): \(\left(a^{\frac{1}{3}}\right)^2 = a^{\frac{2}{3}}\), \(a^{\frac{1}{3}} \cdot a^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{5}{6}}\), \(\left(a^{\frac{1}{2}}\right)^2 = a\). Значит, \[\left(a^{\frac{1}{3}} + a^{\frac{1}{2}}\right)\left(a^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{5}{6}} + a\right) = \left(a^{\frac{1}{3}}\right)^3 + \left(a^{\frac{1}{2}}\right)^3 = a + a^{\frac{3}{2}}.\]
5) Первые два множителя дают разность квадратов: \[\begin{aligned} &\left(a^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{1}{6}}\right)\left(a^{\frac{1}{6}} - b^{\frac{1}{6}}\right)\left(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}\right) = {} \\ &= \left(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}\right)^2 = a^{\frac{2}{3}} - 2a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}. \end{aligned}\]
6) Первые два множителя дают разность кубов выражений \(x^{\frac{2}{9}}\) и \(1\): \[\begin{aligned} &\left(x^{\frac{2}{9}} - 1\right)\left(x^{\frac{4}{9}} + x^{\frac{2}{9}} + 1\right)\left(x^{\frac{2}{3}} + 1\right) = {} \\ &= \left(x^{\frac{2}{3}} - 1\right)\left(x^{\frac{2}{3}} + 1\right) = x^{\frac{4}{3}} - 1. \end{aligned}\]
Ответ: 1) \(2a - 5a^{0{,}5}b^{0{,}3} - 3b^{0{,}6}\); 2) \(a^{\frac{2}{3}} + 2a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}\); 3) \(b^{0{,}8} + 9\); 4) \(a + a^{\frac{3}{2}}\); 5) \(a^{\frac{2}{3}} - 2a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}\); 6) \(x^{\frac{4}{3}} - 1\).
Раскройте скобки: 1) \(\left(a^{0{,}5} - 3b^{0{,}3}\right)\left(2a^{0{,}5} + b^{0{,}3}\right)\); 2) \(\left(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}\right)^2\); 3) \(\left(b^{0{,}4} + 3\right)^2 - 6b^{0{,}4}\); 4) \(\left(a^{\frac{1}{3}} + a^{\frac{1}{2}}\right)\left(a^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{5}{6}} + a\right)\); 5) \(\left(a^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{1}{6}}\right)\left(a^{\frac{1}{6}} - b^{\frac{1}{6}}\right)\left(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}\right)\); 6) \(\left(x^{\frac{2}{9}} - 1\right)\left(x^{\frac{4}{9}} + x^{\frac{2}{9}} + 1\right)\left(x^{\frac{2}{3}} + 1\right)\).
Свойства степени с рациональным показателем доказаны для положительного основания, поэтому основания всех степеней считаем положительными. Тогда при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются, а при возведении степени в степень — перемножаются.
1) \[\begin{aligned} &\left(a^{0{,}5} - 3b^{0{,}3}\right)\left(2a^{0{,}5} + b^{0{,}3}\right) = {} \\ &= 2a + a^{0{,}5}b^{0{,}3} - 6a^{0{,}5}b^{0{,}3} - 3b^{0{,}6} = {} \\ &= 2a - 5a^{0{,}5}b^{0{,}3} - 3b^{0{,}6}. \end{aligned}\]
2) По формуле квадрата суммы: \[\left(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}\right)^2 = a^{\frac{2}{3}} + 2a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}.\]
3) \[\left(b^{0{,}4} + 3\right)^2 - 6b^{0{,}4} = b^{0{,}8} + 6b^{0{,}4} + 9 - 6b^{0{,}4} = b^{0{,}8} + 9.\]
4) Второй множитель — неполный квадрат разности выражений \(a^{\frac{1}{3}}\) и \(a^{\frac{1}{2}}\), так как \(\left(a^{\frac{1}{3}}\right)^2 = a^{\frac{2}{3}}\), \(a^{\frac{1}{3}} \cdot a^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{5}{6}}\), \(\left(a^{\frac{1}{2}}\right)^2 = a\). По формуле суммы кубов: \[\left(a^{\frac{1}{3}} + a^{\frac{1}{2}}\right)\left(a^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{5}{6}} + a\right) = \left(a^{\frac{1}{3}}\right)^3 + \left(a^{\frac{1}{2}}\right)^3 = a + a^{\frac{3}{2}}.\]
5) Первые два множителя дают разность квадратов: \[\begin{aligned} &\left(a^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{1}{6}}\right)\left(a^{\frac{1}{6}} - b^{\frac{1}{6}}\right)\left(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}\right) = {} \\ &= \left(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}\right)^2 = a^{\frac{2}{3}} - 2a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}. \end{aligned}\]
6) Первые два множителя дают разность кубов выражений \(x^{\frac{2}{9}}\) и \(1\): \[\begin{aligned} &\left(x^{\frac{2}{9}} - 1\right)\left(x^{\frac{4}{9}} + x^{\frac{2}{9}} + 1\right)\left(x^{\frac{2}{3}} + 1\right) = {} \\ &= \left(x^{\frac{2}{3}} - 1\right)\left(x^{\frac{2}{3}} + 1\right) = x^{\frac{4}{3}} - 1. \end{aligned}\]
Ответ: 1) \(2a - 5a^{0{,}5}b^{0{,}3} - 3b^{0{,}6}\); 2) \(a^{\frac{2}{3}} + 2a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}\); 3) \(b^{0{,}8} + 9\); 4) \(a + a^{\frac{3}{2}}\); 5) \(a^{\frac{2}{3}} - 2a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}\); 6) \(x^{\frac{4}{3}} - 1\).
