Страница 106 номер 13.10, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Раскройте скобки: 1) \(\left(a^{\frac{1}{3}} - 5b^{-\frac{1}{4}}\right)\left(a^{\frac{1}{3}} + 5b^{-\frac{1}{4}}\right)\); 2) \(\left(b^{\frac{4}{3}} - b^{-\frac{2}{3}}\right)^2\); 3) \(\left(x^{\frac{1}{6}} + 2\right)\left(x^{\frac{1}{3}} - 2x^{\frac{1}{6}} + 4\right)\); 4) \(\left(a^{\frac{1}{8}} - 1\right)\left(a^{\frac{1}{4}} + 1\right)\left(a^{\frac{1}{8}} + 1\right)\).
Основания всех степеней считаем положительными; для степеней \(b^{-\frac{1}{4}}\) и \(b^{-\frac{2}{3}}\) с отрицательным показателем условие \(b > 0\) и вовсе обязательно.
1) \[\left(a^{\frac{1}{3}} - 5b^{-\frac{1}{4}}\right)\left(a^{\frac{1}{3}} + 5b^{-\frac{1}{4}}\right) = \left(a^{\frac{1}{3}}\right)^2 - \left(5b^{-\frac{1}{4}}\right)^2 = a^{\frac{2}{3}} - 25b^{-\frac{1}{2}}.\]
2) \[\left(b^{\frac{4}{3}} - b^{-\frac{2}{3}}\right)^2 = b^{\frac{8}{3}} - 2b^{\frac{4}{3}}b^{-\frac{2}{3}} + b^{-\frac{4}{3}} = b^{\frac{8}{3}} - 2b^{\frac{2}{3}} + b^{-\frac{4}{3}}.\]
3) Второй множитель — неполный квадрат разности выражений \(x^{\frac{1}{6}}\) и \(2\): \(\left(x^{\frac{1}{6}}\right)^2 = x^{\frac{1}{3}}\), \(x^{\frac{1}{6}} \cdot 2 = 2x^{\frac{1}{6}}\), \(2^2 = 4\). Значит, \[\left(x^{\frac{1}{6}} + 2\right)\left(x^{\frac{1}{3}} - 2x^{\frac{1}{6}} + 4\right) = \left(x^{\frac{1}{6}}\right)^3 + 2^3 = x^{\frac{1}{2}} + 8.\]
4) Первый и третий множители дают разность квадратов: \[\begin{aligned} &\left(a^{\frac{1}{8}} - 1\right)\left(a^{\frac{1}{4}} + 1\right)\left(a^{\frac{1}{8}} + 1\right) = {} \\ &= \left(a^{\frac{1}{4}} - 1\right)\left(a^{\frac{1}{4}} + 1\right) = a^{\frac{1}{2}} - 1. \end{aligned}\]
Ответ: 1) \(a^{\frac{2}{3}} - 25b^{-\frac{1}{2}}\); 2) \(b^{\frac{8}{3}} - 2b^{\frac{2}{3}} + b^{-\frac{4}{3}}\); 3) \(x^{\frac{1}{2}} + 8\); 4) \(a^{\frac{1}{2}} - 1\).
Раскройте скобки: 1) \(\left(a^{\frac{1}{3}} - 5b^{-\frac{1}{4}}\right)\left(a^{\frac{1}{3}} + 5b^{-\frac{1}{4}}\right)\); 2) \(\left(b^{\frac{4}{3}} - b^{-\frac{2}{3}}\right)^2\); 3) \(\left(x^{\frac{1}{6}} + 2\right)\left(x^{\frac{1}{3}} - 2x^{\frac{1}{6}} + 4\right)\); 4) \(\left(a^{\frac{1}{8}} - 1\right)\left(a^{\frac{1}{4}} + 1\right)\left(a^{\frac{1}{8}} + 1\right)\).
Свойства степени с рациональным показателем доказаны для положительного основания, поэтому основания всех степеней считаем положительными; для степеней \(b^{-\frac{1}{4}}\) и \(b^{-\frac{2}{3}}\) с отрицательным показателем условие \(b > 0\) и вовсе обязательно. При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются, а при возведении степени в степень — перемножаются.
1) По формуле разности квадратов: \[\left(a^{\frac{1}{3}} - 5b^{-\frac{1}{4}}\right)\left(a^{\frac{1}{3}} + 5b^{-\frac{1}{4}}\right) = \left(a^{\frac{1}{3}}\right)^2 - \left(5b^{-\frac{1}{4}}\right)^2 = a^{\frac{2}{3}} - 25b^{-\frac{1}{2}}.\]
2) По формуле квадрата разности: \[\left(b^{\frac{4}{3}} - b^{-\frac{2}{3}}\right)^2 = b^{\frac{8}{3}} - 2b^{\frac{4}{3}}b^{-\frac{2}{3}} + b^{-\frac{4}{3}} = b^{\frac{8}{3}} - 2b^{\frac{2}{3}} + b^{-\frac{4}{3}}.\]
3) Второй множитель — неполный квадрат разности выражений \(x^{\frac{1}{6}}\) и \(2\), так как \(\left(x^{\frac{1}{6}}\right)^2 = x^{\frac{1}{3}}\), \(x^{\frac{1}{6}} \cdot 2 = 2x^{\frac{1}{6}}\), \(2^2 = 4\). По формуле суммы кубов: \[\left(x^{\frac{1}{6}} + 2\right)\left(x^{\frac{1}{3}} - 2x^{\frac{1}{6}} + 4\right) = \left(x^{\frac{1}{6}}\right)^3 + 2^3 = x^{\frac{1}{2}} + 8.\]
4) Перемножим первый и третий множители — получится разность квадратов: \[\begin{aligned} &\left(a^{\frac{1}{8}} - 1\right)\left(a^{\frac{1}{4}} + 1\right)\left(a^{\frac{1}{8}} + 1\right) = {} \\ &= \left(a^{\frac{1}{4}} - 1\right)\left(a^{\frac{1}{4}} + 1\right) = a^{\frac{1}{2}} - 1. \end{aligned}\]
Ответ: 1) \(a^{\frac{2}{3}} - 25b^{-\frac{1}{2}}\); 2) \(b^{\frac{8}{3}} - 2b^{\frac{2}{3}} + b^{-\frac{4}{3}}\); 3) \(x^{\frac{1}{2}} + 8\); 4) \(a^{\frac{1}{2}} - 1\).
