Страница 106 номер 13.4, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Найдите область определения функции: 1) \(y = x^{-\frac{2}{3}}\); 2) \(y = (x + 1)^{-\frac{7}{12}}\); 3) \(y = (x^2 - x - 30)^{\frac{4}{15}}\).
1) Показатель \(-\frac{2}{3}\) отрицателен, поэтому основание должно быть положительным: \(x > 0\), то есть \(D(y) = (0;\ +\infty)\).
2) Показатель \(-\frac{7}{12}\) отрицателен, поэтому \(x + 1 > 0\), откуда \(x > -1\) и \(D(y) = (-1;\ +\infty)\).
3) Показатель \(\frac{4}{15}\) — положительная несократимая дробь, поэтому основание должно быть неотрицательным: \(x^2 - x - 30 \geqslant 0\). Нули трёхчлена: \(x_1 = -5\), \(x_2 = 6\); старший коэффициент положителен, поэтому \(x^2 - x - 30 \geqslant 0\) при \(x \leqslant -5\) и при \(x \geqslant 6\). Значит, \(D(y) = (-\infty;\ -5] \cup [6;\ +\infty)\).
Ответ: 1) \((0;\ +\infty)\); 2) \((-1;\ +\infty)\); 3) \((-\infty;\ -5] \cup [6;\ +\infty)\).
Найдите область определения функции: 1) \(y = x^{-\frac{2}{3}}\); 2) \(y = (x + 1)^{-\frac{7}{12}}\); 3) \(y = (x^2 - x - 30)^{\frac{4}{15}}\).
Степень с дробным показателем определена только для положительного основания, а при положительном показателе — ещё и для основания, равного нулю. Поэтому область определения ищем из условия на основание степени.
1) Показатель \(-\frac{2}{3}\) отрицателен, поэтому основание должно быть положительным: \(x > 0\), то есть \(D(y) = (0;\ +\infty)\).
2) Показатель \(-\frac{7}{12}\) отрицателен, поэтому \(x + 1 > 0\), откуда \(x > -1\) и \(D(y) = (-1;\ +\infty)\).
3) Показатель \(\frac{4}{15}\) — положительная несократимая дробь, поэтому основание должно быть неотрицательным: \(x^2 - x - 30 \geqslant 0\). Нули трёхчлена: \(x_1 = -5\), \(x_2 = 6\). Старший коэффициент трёхчлена положителен, поэтому \(x^2 - x - 30 \geqslant 0\) при \(x \leqslant -5\) и при \(x \geqslant 6\). Значит, \(D(y) = (-\infty;\ -5] \cup [6;\ +\infty)\).
Ответ: 1) \((0;\ +\infty)\); 2) \((-1;\ +\infty)\); 3) \((-\infty;\ -5] \cup [6;\ +\infty)\).
