Страница 106 номер 13.3, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Найдите область определения функции: 1) \(y = x^{\frac{5}{6}}\); 2) \(y = (x - 3)^{2{,}6}\); 3) \(y = (x^2 - 6x - 7)^{-\frac{1}{9}}\).
1) Показатель \(\frac{5}{6}\) — положительная несократимая дробь, поэтому функция определена при \(x \geqslant 0\) (значение \(0^{\frac{5}{6}} = 0\) существует), то есть \(D(y) = [0;\ +\infty)\).
2) Показатель \(2{,}6 = \frac{13}{5}\) — положительная несократимая дробь, поэтому основание должно быть неотрицательным: \(x - 3 \geqslant 0\), откуда \(x \geqslant 3\) и \(D(y) = [3;\ +\infty)\).
3) Показатель \(-\frac{1}{9}\) отрицателен, поэтому основание должно быть положительным: \(x^2 - 6x - 7 > 0\). Нули трёхчлена: \(x_1 = -1\), \(x_2 = 7\); старший коэффициент положителен, поэтому \(x^2 - 6x - 7 > 0\) при \(x < -1\) и при \(x > 7\). Значит, \(D(y) = (-\infty;\ -1) \cup (7;\ +\infty)\).
Ответ: 1) \([0;\ +\infty)\); 2) \([3;\ +\infty)\); 3) \((-\infty;\ -1) \cup (7;\ +\infty)\).
Найдите область определения функции: 1) \(y = x^{\frac{5}{6}}\); 2) \(y = (x - 3)^{2{,}6}\); 3) \(y = (x^2 - 6x - 7)^{-\frac{1}{9}}\).
Степень с дробным показателем определена только для положительного основания, а при положительном показателе — ещё и для основания, равного нулю. Поэтому область определения ищем из условия на основание степени.
1) Показатель \(\frac{5}{6}\) — положительная несократимая дробь, поэтому функция \(y = x^{\frac{5}{6}}\) определена при \(x \geqslant 0\) (значение \(0^{\frac{5}{6}} = 0\) существует), то есть \(D(y) = [0;\ +\infty)\).
2) Показатель \(2{,}6 = \frac{26}{10} = \frac{13}{5}\) — положительная несократимая дробь, поэтому основание должно быть неотрицательным: \(x - 3 \geqslant 0\), откуда \(x \geqslant 3\) и \(D(y) = [3;\ +\infty)\).
3) Показатель \(-\frac{1}{9}\) отрицателен, поэтому основание должно быть положительным: \(x^2 - 6x - 7 > 0\). Нули трёхчлена: \(x_1 = -1\), \(x_2 = 7\). Старший коэффициент трёхчлена положителен, поэтому \(x^2 - 6x - 7 > 0\) при \(x < -1\) и при \(x > 7\). Значит, \(D(y) = (-\infty;\ -1) \cup (7;\ +\infty)\).
Ответ: 1) \([0;\ +\infty)\); 2) \([3;\ +\infty)\); 3) \((-\infty;\ -1) \cup (7;\ +\infty)\).
