Страница 108 номер 13.27, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Упростите выражение \(b^{12{,}7} - b^{12{,}6} + b^{12{,}5} - b^{12{,}4} + \ldots + b^{3{,}3}\).
Все показатели степеней положительны, поэтому выражение имеет смысл при \(b \geqslant 0\).
Показатели слагаемых \(12{,}7\); \(12{,}6\); \(12{,}5\); \(12{,}4\); \(\ldots\); \(3{,}3\) убывают на \(0{,}1\), число слагаемых
\[n = \frac{12{,}7 - 3{,}3}{0{,}1} + 1 = 94 + 1 = 95.\]
Пусть \(b > 0\). Каждое следующее слагаемое получается из предыдущего умножением на \(-b^{-0{,}1}\), то есть слагаемые образуют геометрическую прогрессию с \(b_1 = b^{12{,}7}\) и \(q = -b^{-0{,}1}\). Показатель 95 нечётный, поэтому \(q^{95} = -b^{-9{,}5}\) и
\[\begin{aligned} &S_{95} = \frac{b_1\left(1 - q^{95}\right)}{1 - q} = \frac{b^{12{,}7}\left(1 + b^{-9{,}5}\right)}{1 + b^{-0{,}1}} = {} \\ &= \frac{b^{12{,}7} + b^{3{,}2}}{1 + b^{-0{,}1}}. \end{aligned}\]
Умножим числитель и знаменатель на \(b^{0{,}1}\):
\[\frac{b^{12{,}7} + b^{3{,}2}}{1 + b^{-0{,}1}} = \frac{b^{12{,}8} + b^{3{,}3}}{b^{0{,}1} + 1}.\]
При \(b = 0\) каждое слагаемое равно нулю и сумма равна нулю; то же значение даёт и полученная дробь, поэтому она верна при всех \(b \geqslant 0\).
Ответ: \(\frac{b^{12{,}8} + b^{3{,}3}}{b^{0{,}1} + 1}\).
Упростите выражение \(b^{12{,}7} - b^{12{,}6} + b^{12{,}5} - b^{12{,}4} + \ldots + b^{3{,}3}\).
Все показатели степеней положительны, поэтому выражение имеет смысл при \(b \geqslant 0\).
Показатели слагаемых \(12{,}7\); \(12{,}6\); \(12{,}5\); \(12{,}4\); \(\ldots\); \(3{,}3\) убывают на \(0{,}1\), значит, число слагаемых равно \[n = \frac{12{,}7 - 3{,}3}{0{,}1} + 1 = 94 + 1 = 95.\]
Пусть \(b > 0\). Каждое следующее слагаемое получается из предыдущего умножением на \(-b^{-0{,}1}\), поэтому слагаемые образуют геометрическую прогрессию с первым членом \(b_1 = b^{12{,}7}\) и знаменателем \(q = -b^{-0{,}1}\). Так как показатель 95 нечётный, \(q^{95} = -b^{-9{,}5}\), и сумма прогрессии равна \[\begin{aligned} &S_{95} = \frac{b_1\left(1 - q^{95}\right)}{1 - q} = \frac{b^{12{,}7}\left(1 + b^{-9{,}5}\right)}{1 + b^{-0{,}1}} = {} \\ &= \frac{b^{12{,}7} + b^{3{,}2}}{1 + b^{-0{,}1}}. \end{aligned}\]
Умножим числитель и знаменатель полученной дроби на \(b^{0{,}1}\): \[\frac{b^{12{,}7} + b^{3{,}2}}{1 + b^{-0{,}1}} = \frac{b^{12{,}8} + b^{3{,}3}}{b^{0{,}1} + 1}.\]
При \(b = 0\) каждое слагаемое равно нулю и сумма равна нулю; то же значение даёт и полученная дробь, поэтому она верна при всех \(b \geqslant 0\).
Ответ: \(\frac{b^{12{,}8} + b^{3{,}3}}{b^{0{,}1} + 1}\).
