Страница 108 номер 13.26, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Упростите выражение \(a^{0{,}2} + a^{0{,}5} + a^{0{,}8} + a^{1{,}1} + \ldots + a^{7{,}1}\).
Все показатели степеней положительны, поэтому выражение имеет смысл при \(a \geqslant 0\).
Показатели слагаемых \(0{,}2\); \(0{,}5\); \(0{,}8\); \(1{,}1\); \(\ldots\); \(7{,}1\) — арифметическая прогрессия с разностью \(0{,}3\), число слагаемых
\[n = \frac{7{,}1 - 0{,}2}{0{,}3} + 1 = 23 + 1 = 24.\]
Если \(a = 1\), каждое слагаемое равно 1 и сумма равна 24.
Если \(a = 0\), каждое слагаемое равно 0 и сумма равна 0.
Пусть \(a > 0\) и \(a \ne 1\). Каждое следующее слагаемое получается из предыдущего умножением на \(a^{0{,}3}\), то есть слагаемые образуют геометрическую прогрессию с \(b_1 = a^{0{,}2}\) и \(q = a^{0{,}3}\), причём \(q \ne 1\) (иначе возведением в степень \(\frac{10}{3}\) получилось бы \(a = 1\)).
\[\begin{aligned} &S_{24} = \frac{b_1\left(q^{24} - 1\right)}{q - 1} = \frac{a^{0{,}2}\left(a^{7{,}2} - 1\right)}{a^{0{,}3} - 1} = {} \\ &= \frac{a^{7{,}4} - a^{0{,}2}}{a^{0{,}3} - 1}. \end{aligned}\]
При \(a = 0\) эта дробь равна \(\frac{0 - 0}{0 - 1} = 0\), то есть даёт то же значение суммы, поэтому её можно считать общей для всех \(a \in [0;\ 1) \cup (1;\ +\infty)\).
Ответ: 24, если \(a = 1\); \(\frac{a^{7{,}4} - a^{0{,}2}}{a^{0{,}3} - 1}\), если \(a \in [0;\ 1) \cup (1;\ +\infty)\).
Упростите выражение \(a^{0{,}2} + a^{0{,}5} + a^{0{,}8} + a^{1{,}1} + \ldots + a^{7{,}1}\).
Все показатели степеней положительны, поэтому выражение имеет смысл при \(a \geqslant 0\).
Показатели слагаемых \(0{,}2\); \(0{,}5\); \(0{,}8\); \(1{,}1\); \(\ldots\); \(7{,}1\) образуют арифметическую прогрессию с разностью \(0{,}3\), значит, число слагаемых равно \[n = \frac{7{,}1 - 0{,}2}{0{,}3} + 1 = 23 + 1 = 24.\]
Если \(a = 1\), то каждое слагаемое равно 1 и сумма равна 24.
Если \(a = 0\), то каждое слагаемое равно 0 и сумма равна 0.
Пусть теперь \(a > 0\) и \(a \ne 1\). Каждое следующее слагаемое получается из предыдущего умножением на \(a^{0{,}3}\), поэтому слагаемые образуют геометрическую прогрессию с первым членом \(b_1 = a^{0{,}2}\) и знаменателем \(q = a^{0{,}3}\). При этом \(q \ne 1\): из равенства \(a^{0{,}3} = 1\) возведением в степень \(\frac{10}{3}\) получилось бы \(a = 1\). Сумма 24 членов прогрессии равна \[\begin{aligned} &S_{24} = \frac{b_1\left(q^{24} - 1\right)}{q - 1} = \frac{a^{0{,}2}\left(a^{7{,}2} - 1\right)}{a^{0{,}3} - 1} = {} \\ &= \frac{a^{7{,}4} - a^{0{,}2}}{a^{0{,}3} - 1}. \end{aligned}\]
При \(a = 0\) эта дробь равна \(\frac{0 - 0}{0 - 1} = 0\), то есть даёт то же значение суммы, поэтому её можно считать общей для всех \(a \in [0;\ 1) \cup (1;\ +\infty)\).
Ответ: 24, если \(a = 1\); \(\frac{a^{7{,}4} - a^{0{,}2}}{a^{0{,}3} - 1}\), если \(a \in [0;\ 1) \cup (1;\ +\infty)\).
