Страница 108 номер 13.25, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Упростите выражение \((a^{0{,}125} + b^{0{,}75})(a^{0{,}25} + b^{1{,}5})(a^{0{,}5} + b^3)(a + b^6)\).
Все показатели степеней положительны, поэтому выражение имеет смысл при \(a \geqslant 0\) и \(b \geqslant 0\).
Пусть \(a^{0{,}125} \ne b^{0{,}75}\). Умножим и разделим произведение на \(a^{0{,}125} - b^{0{,}75}\) — каждое следующее умножение даёт разность квадратов:
\[\left(a^{0{,}125} - b^{0{,}75}\right)\left(a^{0{,}125} + b^{0{,}75}\right) = a^{0{,}25} - b^{1{,}5};\] \[\left(a^{0{,}25} - b^{1{,}5}\right)\left(a^{0{,}25} + b^{1{,}5}\right) = a^{0{,}5} - b^3;\] \[\left(a^{0{,}5} - b^3\right)\left(a^{0{,}5} + b^3\right) = a - b^6;\] \[\left(a - b^6\right)\left(a + b^6\right) = a^2 - b^{12}.\]
Значит, при \(a^{0{,}125} \ne b^{0{,}75}\)
\[\left(a^{0{,}125} + b^{0{,}75}\right)\left(a^{0{,}25} + b^{1{,}5}\right)\left(a^{0{,}5} + b^3\right)\left(a + b^6\right) = \frac{a^2 - b^{12}}{a^{0{,}125} - b^{0{,}75}}.\]
Равенство \(a^{0{,}125} = b^{0{,}75}\) равносильно равенству \(a = b^6\) (обе части возводим в восьмую степень); тогда \(a^{0{,}25} = b^{1{,}5}\), \(a^{0{,}5} = b^3\), и каждый множитель удваивается:
\[2b^{0{,}75} \cdot 2b^{1{,}5} \cdot 2b^3 \cdot 2b^6 = 16b^{0{,}75 + 1{,}5 + 3 + 6} = 16b^{11{,}25}.\]
Ответ: \(\frac{a^2 - b^{12}}{a^{0{,}125} - b^{0{,}75}}\), если \(a \ne b^6\); \(16b^{11{,}25}\), если \(a = b^6\).
Упростите выражение \((a^{0{,}125} + b^{0{,}75})(a^{0{,}25} + b^{1{,}5})(a^{0{,}5} + b^3)(a + b^6)\).
Все показатели степеней положительны, поэтому выражение имеет смысл при \(a \geqslant 0\) и \(b \geqslant 0\).
Заметим, что \(\left(a^{0{,}125}\right)^2 = a^{0{,}25}\), \(\left(b^{0{,}75}\right)^2 = b^{1{,}5}\) и так далее, поэтому каждое следующее умножение даёт разность квадратов. Пусть \(a^{0{,}125} \ne b^{0{,}75}\). Умножим и разделим произведение на \(a^{0{,}125} - b^{0{,}75}\): \[\left(a^{0{,}125} - b^{0{,}75}\right)\left(a^{0{,}125} + b^{0{,}75}\right) = a^{0{,}25} - b^{1{,}5};\] \[\left(a^{0{,}25} - b^{1{,}5}\right)\left(a^{0{,}25} + b^{1{,}5}\right) = a^{0{,}5} - b^3;\] \[\left(a^{0{,}5} - b^3\right)\left(a^{0{,}5} + b^3\right) = a - b^6;\] \[\left(a - b^6\right)\left(a + b^6\right) = a^2 - b^{12}.\]
Значит, при \(a^{0{,}125} \ne b^{0{,}75}\) \[\left(a^{0{,}125} + b^{0{,}75}\right)\left(a^{0{,}25} + b^{1{,}5}\right)\left(a^{0{,}5} + b^3\right)\left(a + b^6\right) = \frac{a^2 - b^{12}}{a^{0{,}125} - b^{0{,}75}}.\]
Равенство \(a^{0{,}125} = b^{0{,}75}\) равносильно равенству \(a = b^6\) (достаточно возвести обе его части в восьмую степень). В этом случае \(a^{0{,}25} = b^{1{,}5}\) и \(a^{0{,}5} = b^3\), поэтому каждый множитель удваивается: \[\begin{aligned} &2b^{0{,}75} \cdot 2b^{1{,}5} \cdot 2b^3 \cdot 2b^6 = 16b^{0{,}75 + 1{,}5 + 3 + 6} = {} \\ &= 16b^{11{,}25}. \end{aligned}\]
Ответ: \(\frac{a^2 - b^{12}}{a^{0{,}125} - b^{0{,}75}}\), если \(a \ne b^6\); \(16b^{11{,}25}\), если \(a = b^6\).
