Страница 108 номер 13.24, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Вычислите произведение \(x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{4}} \cdot x^{\frac{1}{8}} \cdot \ldots \cdot x^{\frac{1}{64}}\), если \(x = 2^{-\frac{64}{9}}\).
Показатели множителей \(\frac{1}{2}\); \(\frac{1}{4}\); \(\frac{1}{8}\); \(\ldots\); \(\frac{1}{64}\) — геометрическая прогрессия, \(b_1 = \frac{1}{2}\), \(q = \frac{1}{2}\); так как \(\frac{1}{64} = \left(\frac{1}{2}\right)^6\), в ней \(n = 6\) членов, и сумма показателей
\[S_6 = \frac{b_1\left(1 - q^6\right)}{1 - q} = \frac{\frac{1}{2}\left(1 - \frac{1}{64}\right)}{\frac{1}{2}} = 1 - \frac{1}{64} = \frac{63}{64}.\]
Значит, \(x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{4}} \cdot x^{\frac{1}{8}} \cdot \ldots \cdot x^{\frac{1}{64}} = x^{\frac{63}{64}}\), и при \(x = 2^{-\frac{64}{9}}\)
\[x^{\frac{63}{64}} = \left(2^{-\frac{64}{9}}\right)^{\frac{63}{64}} = 2^{-\frac{64}{9} \cdot \frac{63}{64}} = 2^{-\frac{63}{9}} = 2^{-7}.\]
Ответ: \(2^{-7}\).
Вычислите произведение \(x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{4}} \cdot x^{\frac{1}{8}} \cdot \ldots \cdot x^{\frac{1}{64}}\), если \(x = 2^{-\frac{64}{9}}\).
Показатели множителей \(\frac{1}{2}\); \(\frac{1}{4}\); \(\frac{1}{8}\); \(\ldots\); \(\frac{1}{64}\) образуют геометрическую прогрессию с первым членом \(b_1 = \frac{1}{2}\) и знаменателем \(q = \frac{1}{2}\). Так как \(\frac{1}{64} = \left(\frac{1}{2}\right)^6\), эта прогрессия содержит \(n = 6\) членов, и сумма показателей равна \[S_6 = \frac{b_1\left(1 - q^6\right)}{1 - q} = \frac{\frac{1}{2}\left(1 - \frac{1}{64}\right)}{\frac{1}{2}} = 1 - \frac{1}{64} = \frac{63}{64}.\]
По свойству произведения степеней с одинаковыми основаниями \[x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{4}} \cdot x^{\frac{1}{8}} \cdot \ldots \cdot x^{\frac{1}{64}} = x^{\frac{63}{64}}.\]
Подставим \(x = 2^{-\frac{64}{9}}\): \[x^{\frac{63}{64}} = \left(2^{-\frac{64}{9}}\right)^{\frac{63}{64}} = 2^{-\frac{64}{9} \cdot \frac{63}{64}} = 2^{-\frac{63}{9}} = 2^{-7}.\]
Ответ: \(2^{-7}\).
