Страница 108 номер 13.23, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Вычислите произведение \(x^{1{,}2} \cdot x^{1{,}3} \cdot x^{1{,}4} \cdot x^{1{,}5} \cdot \ldots \cdot x^{8{,}8}\), если \(x = \sqrt[5]{2}\).
Показатели множителей \(1{,}2\); \(1{,}3\); \(1{,}4\); \(1{,}5\); \(\ldots\); \(8{,}8\) — арифметическая прогрессия с разностью \(d = 0{,}1\), число её членов
\[n = \frac{8{,}8 - 1{,}2}{0{,}1} + 1 = 76 + 1 = 77.\]
Сумма всех показателей
\[\frac{(1{,}2 + 8{,}8) \cdot 77}{2} = \frac{10 \cdot 77}{2} = 385.\]
Значит, \(x^{1{,}2} \cdot x^{1{,}3} \cdot x^{1{,}4} \cdot x^{1{,}5} \cdot \ldots \cdot x^{8{,}8} = x^{385}\), а \(x = \sqrt[5]{2} = 2^{\frac{1}{5}}\), поэтому
\[x^{385} = \left(2^{\frac{1}{5}}\right)^{385} = 2^{\frac{385}{5}} = 2^{77}.\]
Ответ: \(2^{77}\).
Вычислите произведение \(x^{1{,}2} \cdot x^{1{,}3} \cdot x^{1{,}4} \cdot x^{1{,}5} \cdot \ldots \cdot x^{8{,}8}\), если \(x = \sqrt[5]{2}\).
Показатели множителей образуют арифметическую прогрессию \(1{,}2\); \(1{,}3\); \(1{,}4\); \(1{,}5\); \(\ldots\); \(8{,}8\) с разностью \(d = 0{,}1\). Число её членов равно \[n = \frac{8{,}8 - 1{,}2}{0{,}1} + 1 = 76 + 1 = 77.\] Сумма всех показателей равна \[\frac{(1{,}2 + 8{,}8) \cdot 77}{2} = \frac{10 \cdot 77}{2} = 385.\]
По свойству произведения степеней с одинаковыми основаниями \[x^{1{,}2} \cdot x^{1{,}3} \cdot x^{1{,}4} \cdot x^{1{,}5} \cdot \ldots \cdot x^{8{,}8} = x^{385}.\]
По определению степени с рациональным показателем \(x = \sqrt[5]{2} = 2^{\frac{1}{5}}\), поэтому \[x^{385} = \left(2^{\frac{1}{5}}\right)^{385} = 2^{\frac{385}{5}} = 2^{77}.\]
Ответ: \(2^{77}\).
