Страница 108 номер 13.22, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Упростите выражение \(\frac{x - y}{x^{\frac{3}{4}} + x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{4}}} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{4}} + x^{\frac{1}{4}}y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x^{\frac{1}{4}}y^{-\frac{1}{4}}}{x^{\frac{1}{2}} - 2x^{\frac{1}{4}}y^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{2}}}\).
Выражение имеет смысл при \(x > 0\), \(y > 0\) и \(x \ne y\).
\[x - y = \left(x^{\frac{1}{4}} - y^{\frac{1}{4}}\right)\left(x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{4}}\right)\left(x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}\right);\] \[x^{\frac{3}{4}} + x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{4}} = x^{\frac{1}{2}}\left(x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{4}}\right);\] \[x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{4}} + x^{\frac{1}{4}}y^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{1}{4}}y^{\frac{1}{4}}\left(x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{4}}\right);\] \[x^{\frac{1}{2}} - 2x^{\frac{1}{4}}y^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{2}} = \left(x^{\frac{1}{4}} - y^{\frac{1}{4}}\right)^2.\]
Произведение первых двух дробей:
\[\begin{aligned} &\frac{\left(x^{\frac{1}{4}} - y^{\frac{1}{4}}\right)\left(x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{4}}\right)\left(x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}\right)}{x^{\frac{1}{2}}\left(x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{4}}\right)} \cdot \frac{x^{\frac{1}{4}}y^{\frac{1}{4}}\left(x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{4}}\right)}{x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}} = {} \\ &= \frac{\left(x^{\frac{1}{4}} - y^{\frac{1}{4}}\right)\left(x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{4}}\right)x^{\frac{1}{4}}y^{\frac{1}{4}}}{x^{\frac{1}{2}}}. \end{aligned}\]
Умножаем на третью дробь, учитывая, что \(x^{\frac{1}{4}}y^{\frac{1}{4}} \cdot x^{\frac{1}{4}}y^{-\frac{1}{4}} = x^{\frac{1}{2}}y^0 = x^{\frac{1}{2}}\):
\[\begin{aligned} &\frac{\left(x^{\frac{1}{4}} - y^{\frac{1}{4}}\right)\left(x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{4}}\right)x^{\frac{1}{4}}y^{\frac{1}{4}}}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x^{\frac{1}{4}}y^{-\frac{1}{4}}}{\left(x^{\frac{1}{4}} - y^{\frac{1}{4}}\right)^2} = {} \\ &= \frac{\left(x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{4}}\right)x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}\left(x^{\frac{1}{4}} - y^{\frac{1}{4}}\right)} = \frac{x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{4}}}{x^{\frac{1}{4}} - y^{\frac{1}{4}}}. \end{aligned}\]
Ответ: \(\frac{x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{4}}}{x^{\frac{1}{4}} - y^{\frac{1}{4}}}\).
Упростите выражение \(\frac{x - y}{x^{\frac{3}{4}} + x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{4}}} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{4}} + x^{\frac{1}{4}}y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x^{\frac{1}{4}}y^{-\frac{1}{4}}}{x^{\frac{1}{2}} - 2x^{\frac{1}{4}}y^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{2}}}\).
Выражение имеет смысл при \(x > 0\), \(y > 0\) и \(x \ne y\).
Разложим на множители числители и знаменатели дробей: \[x - y = \left(x^{\frac{1}{4}} - y^{\frac{1}{4}}\right)\left(x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{4}}\right)\left(x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}\right);\] \[x^{\frac{3}{4}} + x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{4}} = x^{\frac{1}{2}}\left(x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{4}}\right);\] \[x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{4}} + x^{\frac{1}{4}}y^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{1}{4}}y^{\frac{1}{4}}\left(x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{4}}\right);\] \[x^{\frac{1}{2}} - 2x^{\frac{1}{4}}y^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{2}} = \left(x^{\frac{1}{4}} - y^{\frac{1}{4}}\right)^2.\]
Произведение первых двух дробей после сокращения равно \[\begin{aligned} &\frac{\left(x^{\frac{1}{4}} - y^{\frac{1}{4}}\right)\left(x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{4}}\right)\left(x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}\right)}{x^{\frac{1}{2}}\left(x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{4}}\right)} \cdot \frac{x^{\frac{1}{4}}y^{\frac{1}{4}}\left(x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{4}}\right)}{x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}} = {} \\ &= \frac{\left(x^{\frac{1}{4}} - y^{\frac{1}{4}}\right)\left(x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{4}}\right)x^{\frac{1}{4}}y^{\frac{1}{4}}}{x^{\frac{1}{2}}}. \end{aligned}\]
Умножим полученную дробь на третью, учитывая, что \(x^{\frac{1}{4}}y^{\frac{1}{4}} \cdot x^{\frac{1}{4}}y^{-\frac{1}{4}} = x^{\frac{1}{2}}y^0 = x^{\frac{1}{2}}\): \[\begin{aligned} &\frac{\left(x^{\frac{1}{4}} - y^{\frac{1}{4}}\right)\left(x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{4}}\right)x^{\frac{1}{4}}y^{\frac{1}{4}}}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x^{\frac{1}{4}}y^{-\frac{1}{4}}}{\left(x^{\frac{1}{4}} - y^{\frac{1}{4}}\right)^2} = {} \\ &= \frac{\left(x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{4}}\right)x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}\left(x^{\frac{1}{4}} - y^{\frac{1}{4}}\right)} = \frac{x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{4}}}{x^{\frac{1}{4}} - y^{\frac{1}{4}}}. \end{aligned}\]
Ответ: \(\frac{x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{4}}}{x^{\frac{1}{4}} - y^{\frac{1}{4}}}\).
