Страница 108 номер 13.21, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа

1) Выражение имеет смысл при \(a > 0\), \(b > 0\) и \(a \ne b\).

В числителе вынесем множитель \(a\) и свернём квадрат разности:
\[a^{\frac{7}{3}} - 2a^{\frac{5}{3}}b^{\frac{2}{3}} + ab^{\frac{4}{3}} = a\left(a^{\frac{4}{3}} - 2a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{4}{3}}\right) = a\left(a^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{2}{3}}\right)^2.\]

В знаменателе вынесем множитель \(a^{\frac{2}{3}}\) и разложим на множители группировкой:
\[\begin{aligned} &a^{\frac{5}{3}} - a^{\frac{4}{3}}b^{\frac{1}{3}} - ab^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{2}{3}}b = a^{\frac{2}{3}}\left(a - a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{1}{3}} - a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{2}{3}} + b\right) = {} \\ &= a^{\frac{2}{3}}\left(a^{\frac{2}{3}}\left(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}\right) - b^{\frac{2}{3}}\left(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}\right)\right) = a^{\frac{2}{3}}\left(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}\right)\left(a^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{2}{3}}\right). \end{aligned}\]

Сократим дробь и разделим результат на \(a^{\frac{1}{3}}\):
\[\begin{aligned} &\frac{a\left(a^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{2}{3}}\right)^2}{a^{\frac{2}{3}}\left(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}\right)\left(a^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{2}{3}}\right)} : a^{\frac{1}{3}} = \frac{a^{\frac{1}{3}}\left(a^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{2}{3}}\right)}{\left(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}\right)a^{\frac{1}{3}}} = {} \\ &= \frac{\left(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}\right)\left(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}\right)}{a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}} = a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}. \end{aligned}\]

2) Выражение имеет смысл при \(x > 0\), \(y > 0\) и \(x \ne 8y\). При положительных основаниях корни записываются степенями с рациональным показателем: \(\sqrt[3]{xy} = x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}}\), \(\sqrt[3]{x^4} = x^{\frac{4}{3}}\), \(\sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}}\), \(\sqrt[3]{\frac{x}{y}} = \frac{x^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}}\).

Знаменатель большой дроби равен
\[\left(x^{\frac{4}{3}} - 8yx^{\frac{1}{3}}\right) : x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}} = \frac{x^{\frac{1}{3}}(x - 8y)}{x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}}} = \frac{x - 8y}{y^{\frac{1}{3}}}.\]

Разность \(x - 8y\) — разность кубов:
\[x - 8y = \left(x^{\frac{1}{3}}\right)^3 - \left(2y^{\frac{1}{3}}\right)^3 = \left(x^{\frac{1}{3}} - 2y^{\frac{1}{3}}\right)\left(x^{\frac{2}{3}} + 2x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}} + 4y^{\frac{2}{3}}\right).\]

Поэтому большая дробь равна
\[\begin{aligned} &\frac{\left(x^{\frac{2}{3}} + 2x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}} + 4y^{\frac{2}{3}}\right)y^{\frac{1}{3}}}{\left(x^{\frac{1}{3}} - 2y^{\frac{1}{3}}\right)\left(x^{\frac{2}{3}} + 2x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}} + 4y^{\frac{2}{3}}\right)} = {} \\ &= \frac{y^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}} - 2y^{\frac{1}{3}}}. \end{aligned}\]

Осталось умножить её на второй множитель, записав его одной дробью \(2 - \frac{x^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}} = \frac{2y^{\frac{1}{3}} - x^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}}\):
\[\frac{y^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}} - 2y^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{-\left(x^{\frac{1}{3}} - 2y^{\frac{1}{3}}\right)}{y^{\frac{1}{3}}} = -1.\]

Ответ: 1) \(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}\); 2) \(-1\).