Страница 108 номер 13.20, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа

1) Обе части равенства имеют смысл при \(m > 0\) и \(n > 0\).

В знаменателе первой дроби вынесем множитель \(m\), учитывая, что \(m^{\frac{3}{2}} = m \cdot m^{\frac{1}{2}}\): \[m^{\frac{3}{2}} + mn^{\frac{1}{2}} = m\left(m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}}\right).\]

Тогда разность в скобках равна \[\begin{aligned} &\frac{m^2 + n^2}{m\left(m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}}\right)} - \frac{m + n}{m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}}} = \frac{m^2 + n^2 - m(m + n)}{m\left(m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}}\right)} = {} \\ &= \frac{n^2 - mn}{m\left(m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}}\right)} = \frac{n(n - m)}{m\left(m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}}\right)}. \end{aligned}\]

Умножив на \(\frac{m}{n}\) и разложив разность \(n - m = \left(n^{\frac{1}{2}} - m^{\frac{1}{2}}\right)\left(n^{\frac{1}{2}} + m^{\frac{1}{2}}\right)\), получаем: \[\begin{aligned} &\frac{n(n - m)}{m\left(m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}}\right)} \cdot \frac{m}{n} = \frac{n - m}{m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}}} = {} \\ &= \frac{\left(n^{\frac{1}{2}} - m^{\frac{1}{2}}\right)\left(n^{\frac{1}{2}} + m^{\frac{1}{2}}\right)}{m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}}} = n^{\frac{1}{2}} - m^{\frac{1}{2}}. \end{aligned}\]

Левая часть равенства равна правой, тождество доказано.

2) Обе части равенства имеют смысл при \(a > 0\), \(b > 0\) и \(a \ne b\).

Знаменатель первой дроби — разность кубов: \[a^{-1} - b^{-1} = \left(a^{-\frac{1}{3}}\right)^3 - \left(b^{-\frac{1}{3}}\right)^3 = \left(a^{-\frac{1}{3}} - b^{-\frac{1}{3}}\right)\left(a^{-\frac{2}{3}} + a^{-\frac{1}{3}}b^{-\frac{1}{3}} + b^{-\frac{2}{3}}\right).\]

Тогда разность в скобках равна \[\begin{aligned} &\frac{a^{-\frac{1}{3}}b^{-\frac{1}{3}}}{\left(a^{-\frac{1}{3}} - b^{-\frac{1}{3}}\right)\left(a^{-\frac{2}{3}} + a^{-\frac{1}{3}}b^{-\frac{1}{3}} + b^{-\frac{2}{3}}\right)} - \frac{1}{a^{-\frac{1}{3}} - b^{-\frac{1}{3}}} = {} \\ &= \frac{a^{-\frac{1}{3}}b^{-\frac{1}{3}} - \left(a^{-\frac{2}{3}} + a^{-\frac{1}{3}}b^{-\frac{1}{3}} + b^{-\frac{2}{3}}\right)}{\left(a^{-\frac{1}{3}} - b^{-\frac{1}{3}}\right)\left(a^{-\frac{2}{3}} + a^{-\frac{1}{3}}b^{-\frac{1}{3}} + b^{-\frac{2}{3}}\right)} = {} \\ &= \frac{-\left(a^{-\frac{2}{3}} + b^{-\frac{2}{3}}\right)}{\left(a^{-\frac{1}{3}} - b^{-\frac{1}{3}}\right)\left(a^{-\frac{2}{3}} + a^{-\frac{1}{3}}b^{-\frac{1}{3}} + b^{-\frac{2}{3}}\right)}. \end{aligned}\]

Деление на дробь заменяем умножением на обратную ей дробь: \[\begin{aligned} &\frac{-\left(a^{-\frac{2}{3}} + b^{-\frac{2}{3}}\right)}{\left(a^{-\frac{1}{3}} - b^{-\frac{1}{3}}\right)\left(a^{-\frac{2}{3}} + a^{-\frac{1}{3}}b^{-\frac{1}{3}} + b^{-\frac{2}{3}}\right)} \cdot \frac{a^{-\frac{2}{3}} + a^{-\frac{1}{3}}b^{-\frac{1}{3}} + b^{-\frac{2}{3}}}{a^{-\frac{2}{3}} + b^{-\frac{2}{3}}} = {} \\ &= \frac{-1}{a^{-\frac{1}{3}} - b^{-\frac{1}{3}}} = \frac{1}{b^{-\frac{1}{3}} - a^{-\frac{1}{3}}}. \end{aligned}\]

Осталось привести знаменатель к общему виду: \(b^{-\frac{1}{3}} - a^{-\frac{1}{3}} = \frac{1}{b^{\frac{1}{3}}} - \frac{1}{a^{\frac{1}{3}}} = \frac{a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}}\), поэтому \[\frac{1}{b^{-\frac{1}{3}} - a^{-\frac{1}{3}}} = \frac{a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}}.\]

Левая часть равенства равна правой, тождество доказано.

Ответ: 1) равенство верно при всех допустимых значениях переменных (\(m > 0\), \(n > 0\)); 2) равенство верно при всех допустимых значениях переменных (\(a > 0\), \(b > 0\), \(a \ne b\)).