Страница 108 номер 13.19, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Докажите тождество: 1) \(\left(\frac{a^{0{,}5} + 2}{a + 2a^{0{,}5} + 1} - \frac{a^{0{,}5} - 2}{a - 1}\right) : \frac{a^{0{,}5}}{a^{0{,}5} + 1} = \frac{2}{a - 1}\); 2) \(\frac{(a - b)^2}{a^{\frac{3}{2}} - b^{\frac{3}{2}}} + \frac{a^2 - b^2}{\left(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}\right)\left(a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b\right)} = 2a^{\frac{1}{2}} - 2b^{\frac{1}{2}}\).
1) Обе части равенства имеют смысл при \(a > 0\) и \(a \ne 1\).
\(a + 2a^{0{,}5} + 1 = \left(a^{0{,}5} + 1\right)^2\); \(a - 1 = \left(a^{0{,}5} - 1\right)\left(a^{0{,}5} + 1\right)\).
Разность в скобках:
\[\begin{aligned} &\frac{a^{0{,}5} + 2}{\left(a^{0{,}5} + 1\right)^2} - \frac{a^{0{,}5} - 2}{\left(a^{0{,}5} - 1\right)\left(a^{0{,}5} + 1\right)} = {} \\ &= \frac{\left(a^{0{,}5} + 2\right)\left(a^{0{,}5} - 1\right) - \left(a^{0{,}5} - 2\right)\left(a^{0{,}5} + 1\right)}{\left(a^{0{,}5} + 1\right)^2\left(a^{0{,}5} - 1\right)} = {} \\ &= \frac{\left(a + a^{0{,}5} - 2\right) - \left(a - a^{0{,}5} - 2\right)}{\left(a^{0{,}5} + 1\right)^2\left(a^{0{,}5} - 1\right)} = \frac{2a^{0{,}5}}{\left(a^{0{,}5} + 1\right)^2\left(a^{0{,}5} - 1\right)}. \end{aligned}\] \[\begin{aligned} &\frac{2a^{0{,}5}}{\left(a^{0{,}5} + 1\right)^2\left(a^{0{,}5} - 1\right)} \cdot \frac{a^{0{,}5} + 1}{a^{0{,}5}} = {} \\ &= \frac{2}{\left(a^{0{,}5} + 1\right)\left(a^{0{,}5} - 1\right)} = \frac{2}{a - 1}. \end{aligned}\]
Левая часть равенства равна правой, тождество доказано.
2) Обе части равенства имеют смысл при \(a > 0\), \(b > 0\) и \(a \ne b\).
\[a^{\frac{3}{2}} - b^{\frac{3}{2}} = \left(a^{\frac{1}{2}}\right)^3 - \left(b^{\frac{1}{2}}\right)^3 = \left(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}\right)\left(a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b\right).\]
Числитель первой дроби \((a - b)^2 = \left(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}\right)^2\left(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}\right)^2\), поэтому
\[\frac{(a - b)^2}{a^{\frac{3}{2}} - b^{\frac{3}{2}}} = \frac{\left(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}\right)\left(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}\right)^2}{a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b}.\]
Числитель второй дроби \(a^2 - b^2 = \left(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}\right)\left(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}\right)(a + b)\), откуда
\[\frac{a^2 - b^2}{\left(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}\right)\left(a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b\right)} = \frac{\left(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}\right)(a + b)}{a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b}.\]
Складываем, учитывая, что \(\left(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}\right)^2 + a + b = 2\left(a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b\right)\):
\[\begin{aligned} &\frac{\left(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}\right)\left(\left(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}\right)^2 + a + b\right)}{a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b} = {} \\ &= \frac{2\left(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}\right)\left(a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b\right)}{a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b} = 2a^{\frac{1}{2}} - 2b^{\frac{1}{2}}. \end{aligned}\]
Левая часть равенства равна правой, тождество доказано.
Ответ: 1) равенство верно при всех допустимых значениях переменной (\(a > 0\), \(a \ne 1\)); 2) равенство верно при всех допустимых значениях переменных (\(a > 0\), \(b > 0\), \(a \ne b\)).
Докажите тождество: 1) \(\left(\frac{a^{0{,}5} + 2}{a + 2a^{0{,}5} + 1} - \frac{a^{0{,}5} - 2}{a - 1}\right) : \frac{a^{0{,}5}}{a^{0{,}5} + 1} = \frac{2}{a - 1}\); 2) \(\frac{(a - b)^2}{a^{\frac{3}{2}} - b^{\frac{3}{2}}} + \frac{a^2 - b^2}{\left(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}\right)\left(a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b\right)} = 2a^{\frac{1}{2}} - 2b^{\frac{1}{2}}\).
1) Обе части равенства имеют смысл при \(a > 0\) и \(a \ne 1\).
В знаменателях выделим квадрат суммы и разность квадратов: \(a + 2a^{0{,}5} + 1 = \left(a^{0{,}5} + 1\right)^2\), \(a - 1 = \left(a^{0{,}5} - 1\right)\left(a^{0{,}5} + 1\right)\). Тогда разность в скобках равна \[\begin{aligned} &\frac{a^{0{,}5} + 2}{\left(a^{0{,}5} + 1\right)^2} - \frac{a^{0{,}5} - 2}{\left(a^{0{,}5} - 1\right)\left(a^{0{,}5} + 1\right)} = {} \\ &= \frac{\left(a^{0{,}5} + 2\right)\left(a^{0{,}5} - 1\right) - \left(a^{0{,}5} - 2\right)\left(a^{0{,}5} + 1\right)}{\left(a^{0{,}5} + 1\right)^2\left(a^{0{,}5} - 1\right)} = {} \\ &= \frac{\left(a + a^{0{,}5} - 2\right) - \left(a - a^{0{,}5} - 2\right)}{\left(a^{0{,}5} + 1\right)^2\left(a^{0{,}5} - 1\right)} = \frac{2a^{0{,}5}}{\left(a^{0{,}5} + 1\right)^2\left(a^{0{,}5} - 1\right)}. \end{aligned}\]
Деление на дробь заменяем умножением на обратную ей дробь: \[\begin{aligned} &\frac{2a^{0{,}5}}{\left(a^{0{,}5} + 1\right)^2\left(a^{0{,}5} - 1\right)} \cdot \frac{a^{0{,}5} + 1}{a^{0{,}5}} = {} \\ &= \frac{2}{\left(a^{0{,}5} + 1\right)\left(a^{0{,}5} - 1\right)} = \frac{2}{a - 1}. \end{aligned}\]
Левая часть равенства равна правой, тождество доказано.
2) Обе части равенства имеют смысл при \(a > 0\), \(b > 0\) и \(a \ne b\).
Знаменатель первой дроби — разность кубов: \[a^{\frac{3}{2}} - b^{\frac{3}{2}} = \left(a^{\frac{1}{2}}\right)^3 - \left(b^{\frac{1}{2}}\right)^3 = \left(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}\right)\left(a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b\right).\]
Числитель первой дроби представим в виде \((a - b)^2 = \left(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}\right)^2\left(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}\right)^2\), поэтому \[\frac{(a - b)^2}{a^{\frac{3}{2}} - b^{\frac{3}{2}}} = \frac{\left(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}\right)\left(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}\right)^2}{a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b}.\]
Числитель второй дроби разложим на множители: \(a^2 - b^2 = \left(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}\right)\left(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}\right)(a + b)\), откуда \[\frac{a^2 - b^2}{\left(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}\right)\left(a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b\right)} = \frac{\left(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}\right)(a + b)}{a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b}.\]
Складывая полученные дроби и учитывая, что \(\left(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}\right)^2 + a + b = 2\left(a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b\right)\), получаем: \[\begin{aligned} &\frac{\left(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}\right)\left(\left(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}\right)^2 + a + b\right)}{a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b} = {} \\ &= \frac{2\left(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}\right)\left(a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b\right)}{a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b} = 2a^{\frac{1}{2}} - 2b^{\frac{1}{2}}. \end{aligned}\]
Левая часть равенства равна правой, тождество доказано.
Ответ: 1) равенство верно при всех допустимых значениях переменной (\(a > 0\), \(a \ne 1\)); 2) равенство верно при всех допустимых значениях переменных (\(a > 0\), \(b > 0\), \(a \ne b\)).
