Страница 107 номер 13.18, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Решите уравнение: 1) \(x^{-1{,}5} = 27\); 2) \((x - 1)^{-\frac{2}{5}} = 100\); 3) \((x - 5)^{\frac{3}{7}} = 0\).
1) Показатель \(-1{,}5\) отрицателен, поэтому уравнение имеет смысл только при \(x > 0\).
Так как \(x^{-1{,}5} = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}\), то \(\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} = 27\), откуда \(x^{\frac{3}{2}} = \frac{1}{27}\).
\[\begin{aligned} &x = \left(x^{\frac{3}{2}}\right)^{\frac{2}{3}} = \left(\frac{1}{27}\right)^{\frac{2}{3}} = {} \\ &= \left(3^{-3}\right)^{\frac{2}{3}} = 3^{-2} = \frac{1}{9}. \end{aligned}\]
2) Показатель \(-\frac{2}{5}\) отрицателен, поэтому \(x - 1 > 0\).
Из равенства \(\frac{1}{(x - 1)^{\frac{2}{5}}} = 100\) получаем \((x - 1)^{\frac{2}{5}} = \frac{1}{100}\).
\[x - 1 = \left(\frac{1}{100}\right)^{\frac{5}{2}} = \left(10^{-2}\right)^{\frac{5}{2}} = 10^{-5} = 0{,}00001.\]
Значит, \(x = 1{,}00001\); при этом \(x - 1 = 0{,}00001 > 0\), то есть это корень уравнения.
3) Показатель \(\frac{3}{7}\) положителен, поэтому \(x - 5 \geqslant 0\).
При \(x > 5\) основание положительно и \((x - 5)^{\frac{3}{7}} = \sqrt[7]{(x - 5)^3} > 0\), то есть нулю левая часть не равна. При \(x = 5\) получаем \(0^{\frac{3}{7}} = 0\) — равенство верно, значит, единственный корень \(x = 5\).
Ответ: 1) \(\frac{1}{9}\); 2) \(1{,}00001\); 3) \(5\).
Решите уравнение: 1) \(x^{-1{,}5} = 27\); 2) \((x - 1)^{-\frac{2}{5}} = 100\); 3) \((x - 5)^{\frac{3}{7}} = 0\).
1) Показатель \(-1{,}5\) отрицателен, поэтому уравнение имеет смысл только при \(x > 0\).
Так как \(x^{-1{,}5} = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}\), уравнение принимает вид \(\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} = 27\), откуда \(x^{\frac{3}{2}} = \frac{1}{27}\). Возведём обе части в степень \(\frac{2}{3}\): \[\begin{aligned} &x = \left(x^{\frac{3}{2}}\right)^{\frac{2}{3}} = \left(\frac{1}{27}\right)^{\frac{2}{3}} = {} \\ &= \left(3^{-3}\right)^{\frac{2}{3}} = 3^{-2} = \frac{1}{9}. \end{aligned}\]
2) Показатель \(-\frac{2}{5}\) отрицателен, поэтому \(x - 1 > 0\).
Из равенства \(\frac{1}{(x - 1)^{\frac{2}{5}}} = 100\) получаем \((x - 1)^{\frac{2}{5}} = \frac{1}{100}\). Возведём обе части в степень \(\frac{5}{2}\): \[x - 1 = \left(\frac{1}{100}\right)^{\frac{5}{2}} = \left(10^{-2}\right)^{\frac{5}{2}} = 10^{-5} = 0{,}00001.\] Значит, \(x = 1{,}00001\). Для этого значения \(x - 1 = 0{,}00001 > 0\), то есть оно является корнем уравнения.
3) Показатель \(\frac{3}{7}\) положителен, поэтому \(x - 5 \geqslant 0\).
При \(x > 5\) основание положительно и \((x - 5)^{\frac{3}{7}} = \sqrt[7]{(x - 5)^3} > 0\), то есть нулю левая часть не равна. При \(x = 5\) получаем \(0^{\frac{3}{7}} = 0\) — равенство верно. Значит, уравнение имеет единственный корень \(x = 5\).
Ответ: 1) \(\frac{1}{9}\); 2) \(1{,}00001\); 3) \(5\).
