Страница 107 номер 13.17, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Решите уравнение: 1) \(x^{-\frac{2}{3}} = 0{,}04\); 2) \((x - 2)^{\frac{5}{2}} = 32\); 3) \((x^2 - 2x)^{-\frac{1}{4}} = -1\).
1) Показатель \(-\frac{2}{3}\) отрицателен, поэтому уравнение имеет смысл только при \(x > 0\).
Так как \(x^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}\), а \(0{,}04 = \frac{1}{25}\), то \(\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{25}\), откуда \(x^{\frac{2}{3}} = 25\).
\[\begin{aligned} &x = \left(x^{\frac{2}{3}}\right)^{\frac{3}{2}} = 25^{\frac{3}{2}} = {} \\ &= \left(5^2\right)^{\frac{3}{2}} = 5^3 = 125. \end{aligned}\]
Найденное значение положительно, значит, оно является корнем уравнения.
2) Показатель \(\frac{5}{2}\) положителен, поэтому \(x - 2 \geqslant 0\). При \(x = 2\) левая часть равна нулю, а не 32, значит, \(x - 2 > 0\).
\[x - 2 = 32^{\frac{2}{5}} = \left(2^5\right)^{\frac{2}{5}} = 2^2 = 4.\]
Значит, \(x = 6\).
3) Показатель \(-\frac{1}{4}\) отрицателен, поэтому уравнение имеет смысл только при \(x^2 - 2x > 0\). При таких \(x\) левая часть \(\left(x^2 - 2x\right)^{-\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{\left(x^2 - 2x\right)^{-1}}\) положительна и равняться числу \(-1\) не может, поэтому уравнение корней не имеет.
Ответ: 1) \(125\); 2) \(6\); 3) корней нет.
Решите уравнение: 1) \(x^{-\frac{2}{3}} = 0{,}04\); 2) \((x - 2)^{\frac{5}{2}} = 32\); 3) \((x^2 - 2x)^{-\frac{1}{4}} = -1\).
1) Показатель \(-\frac{2}{3}\) отрицателен, поэтому уравнение имеет смысл только при \(x > 0\).
Так как \(x^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}\), а \(0{,}04 = \frac{1}{25}\), уравнение принимает вид \(\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{25}\), откуда \(x^{\frac{2}{3}} = 25\). Возведём обе части в степень \(\frac{3}{2}\): \[\begin{aligned} &x = \left(x^{\frac{2}{3}}\right)^{\frac{3}{2}} = 25^{\frac{3}{2}} = {} \\ &= \left(5^2\right)^{\frac{3}{2}} = 5^3 = 125. \end{aligned}\] Найденное значение положительно, значит, оно является корнем уравнения. Отрицательных корней уравнение иметь не может: основание степени с дробным показателем положительно.
2) Показатель \(\frac{5}{2}\) положителен, поэтому \(x - 2 \geqslant 0\). При \(x = 2\) левая часть равна нулю, а не 32, значит, \(x - 2 > 0\). Возведём обе части уравнения в степень \(\frac{2}{5}\); по свойству степени степени левая часть при этом равна \(x - 2\): \[x - 2 = 32^{\frac{2}{5}} = \left(2^5\right)^{\frac{2}{5}} = 2^2 = 4.\] Значит, \(x = 6\).
3) Показатель \(-\frac{1}{4}\) отрицателен, поэтому уравнение имеет смысл только при \(x^2 - 2x > 0\). При таких \(x\) по определению степени с рациональным показателем \(\left(x^2 - 2x\right)^{-\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{\left(x^2 - 2x\right)^{-1}}\), а арифметический корень из положительного числа положителен. Значит, левая часть уравнения положительна и равняться числу \(-1\) не может, поэтому уравнение корней не имеет.
Ответ: 1) \(125\); 2) \(6\); 3) корней нет.
