Страница 107 номер 13.13, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
При каких значениях \(a\) выполняется равенство: 1) \(\left((a - 2)^{\frac{1}{3}}\right)^3 = a - 2\); 2) \(\left((a - 2)^{-\frac{1}{3}}\right)^{-3} = a - 2\)?
1) Показатель \(\frac{1}{3}\) положителен, поэтому выражение \((a - 2)^{\frac{1}{3}}\) имеет смысл при \(a - 2 \geqslant 0\), то есть при \(a \geqslant 2\).
При \(a > 2\) основание положительно: \(\left((a - 2)^{\frac{1}{3}}\right)^3 = (a - 2)^{\frac{1}{3} \cdot 3} = a - 2\).
При \(a = 2\) обе части равны нулю: \(\left(0^{\frac{1}{3}}\right)^3 = 0^3 = 0\) и \(a - 2 = 0\) — равенство верно.
При \(a < 2\) левая часть смысла не имеет, значит, равенство выполняется при \(a \geqslant 2\).
2) Показатель \(-\frac{1}{3}\) отрицателен, а такая степень определена только для положительного основания (запись \(0^{-\frac{1}{3}}\) смысла не имеет), поэтому \(a - 2 > 0\), то есть \(a > 2\).
При \(a > 2\) имеем \(\left((a - 2)^{-\frac{1}{3}}\right)^{-3} = (a - 2)^{\left(-\frac{1}{3}\right) \cdot (-3)} = a - 2\), значит, равенство выполняется при всех \(a > 2\).
Ответ: 1) \([2;\ +\infty)\); 2) \((2;\ +\infty)\).
При каких значениях \(a\) выполняется равенство: 1) \(\left((a - 2)^{\frac{1}{3}}\right)^3 = a - 2\); 2) \(\left((a - 2)^{-\frac{1}{3}}\right)^{-3} = a - 2\)?
1) Степень с дробным показателем определена для положительного основания, а для основания, равного нулю, — только при положительном показателе. Показатель \(\frac{1}{3}\) положителен, поэтому выражение \((a - 2)^{\frac{1}{3}}\) имеет смысл при \(a - 2 \geqslant 0\), то есть при \(a \geqslant 2\).
При \(a > 2\) основание положительно, и по свойству степени степени \[\left((a - 2)^{\frac{1}{3}}\right)^3 = (a - 2)^{\frac{1}{3} \cdot 3} = a - 2.\]
При \(a = 2\) обе части равны нулю: \(\left(0^{\frac{1}{3}}\right)^3 = 0^3 = 0\) и \(a - 2 = 0\), то есть равенство верно и здесь.
При \(a < 2\) левая часть смысла не имеет, поэтому равенство выполняется при \(a \geqslant 2\).
2) Показатель \(-\frac{1}{3}\) отрицателен, а степень с отрицательным дробным показателем определена только для положительного основания (запись \(0^{-\frac{1}{3}}\) смысла не имеет). Значит, \(a - 2 > 0\), то есть \(a > 2\).
При \(a > 2\) по свойству степени степени \[\left((a - 2)^{-\frac{1}{3}}\right)^{-3} = (a - 2)^{\left(-\frac{1}{3}\right) \cdot (-3)} = a - 2.\] Значит, равенство выполняется при всех \(a > 2\).
Ответ: 1) \([2;\ +\infty)\); 2) \((2;\ +\infty)\).
