Страница 107 номер 13.12, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Сократите дробь: 1) \(\frac{a + 2a^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{2}{3}} + 2}\); 2) \(\frac{a - b^2}{a - a^{\frac{1}{2}}b}\); 3) \(\frac{x^{3{,}5}y^{2{,}5} - x^{2{,}5}y^{3{,}5}}{x + 2x^{0{,}5}y^{0{,}5} + y}\); 4) \(\frac{a - 125}{a^{\frac{2}{3}} - 25}\); 5) \(\frac{m^{\frac{7}{6}} - 36m^{\frac{5}{6}}}{m^{\frac{1}{2}} - 6m^{\frac{1}{3}}}\); 6) \(\frac{24^{\frac{1}{4}} - 8^{\frac{1}{4}}}{6^{\frac{1}{4}} - 2^{\frac{1}{4}}}\).
Дроби рассматриваем при тех значениях переменных, при которых основания степеней с дробными показателями неотрицательны, а знаменатели отличны от нуля.
1) \[\frac{a + 2a^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{2}{3}} + 2} = \frac{a^{\frac{1}{3}}\left(a^{\frac{2}{3}} + 2\right)}{a^{\frac{2}{3}} + 2} = a^{\frac{1}{3}}.\]
2) \[\begin{aligned} &\frac{a - b^2}{a - a^{\frac{1}{2}}b} = \frac{\left(a^{\frac{1}{2}} - b\right)\left(a^{\frac{1}{2}} + b\right)}{a^{\frac{1}{2}}\left(a^{\frac{1}{2}} - b\right)} = {} \\ &= \frac{a^{\frac{1}{2}} + b}{a^{\frac{1}{2}}} = 1 + \frac{b}{a^{\frac{1}{2}}}. \end{aligned}\]
3) \[\begin{aligned} &\frac{x^{3{,}5}y^{2{,}5} - x^{2{,}5}y^{3{,}5}}{x + 2x^{0{,}5}y^{0{,}5} + y} = \frac{x^{2{,}5}y^{2{,}5}(x - y)}{\left(x^{0{,}5} + y^{0{,}5}\right)^2} = {} \\ &= \frac{x^{2{,}5}y^{2{,}5}\left(x^{0{,}5} - y^{0{,}5}\right)\left(x^{0{,}5} + y^{0{,}5}\right)}{\left(x^{0{,}5} + y^{0{,}5}\right)^2} = x^{2{,}5}y^{2{,}5} \cdot \frac{x^{0{,}5} - y^{0{,}5}}{x^{0{,}5} + y^{0{,}5}}. \end{aligned}\]
4) \[\begin{aligned} &\frac{a - 125}{a^{\frac{2}{3}} - 25} = \frac{\left(a^{\frac{1}{3}} - 5\right)\left(a^{\frac{2}{3}} + 5a^{\frac{1}{3}} + 25\right)}{\left(a^{\frac{1}{3}} - 5\right)\left(a^{\frac{1}{3}} + 5\right)} = {} \\ &= \frac{a^{\frac{2}{3}} + 5a^{\frac{1}{3}} + 25}{a^{\frac{1}{3}} + 5}. \end{aligned}\]
5) \[\begin{aligned} &\frac{m^{\frac{7}{6}} - 36m^{\frac{5}{6}}}{m^{\frac{1}{2}} - 6m^{\frac{1}{3}}} = \frac{m^{\frac{5}{6}}\left(m^{\frac{1}{3}} - 36\right)}{m^{\frac{1}{3}}\left(m^{\frac{1}{6}} - 6\right)} = {} \\ &= \frac{m^{\frac{5}{6}}\left(m^{\frac{1}{6}} - 6\right)\left(m^{\frac{1}{6}} + 6\right)}{m^{\frac{1}{3}}\left(m^{\frac{1}{6}} - 6\right)} = m^{\frac{1}{2}}\left(m^{\frac{1}{6}} + 6\right) = m^{\frac{2}{3}} + 6m^{\frac{1}{2}}. \end{aligned}\]
6) \[\frac{24^{\frac{1}{4}} - 8^{\frac{1}{4}}}{6^{\frac{1}{4}} - 2^{\frac{1}{4}}} = \frac{4^{\frac{1}{4}}\left(6^{\frac{1}{4}} - 2^{\frac{1}{4}}\right)}{6^{\frac{1}{4}} - 2^{\frac{1}{4}}} = 4^{\frac{1}{4}} = \left(2^2\right)^{\frac{1}{4}} = 2^{\frac{1}{2}}.\]
Ответ: 1) \(a^{\frac{1}{3}}\); 2) \(1 + \frac{b}{a^{\frac{1}{2}}}\); 3) \(x^{2{,}5}y^{2{,}5} \cdot \frac{x^{0{,}5} - y^{0{,}5}}{x^{0{,}5} + y^{0{,}5}}\); 4) \(\frac{a^{\frac{2}{3}} + 5a^{\frac{1}{3}} + 25}{a^{\frac{1}{3}} + 5}\); 5) \(m^{\frac{2}{3}} + 6m^{\frac{1}{2}}\); 6) \(2^{\frac{1}{2}}\).
Сократите дробь: 1) \(\frac{a + 2a^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{2}{3}} + 2}\); 2) \(\frac{a - b^2}{a - a^{\frac{1}{2}}b}\); 3) \(\frac{x^{3{,}5}y^{2{,}5} - x^{2{,}5}y^{3{,}5}}{x + 2x^{0{,}5}y^{0{,}5} + y}\); 4) \(\frac{a - 125}{a^{\frac{2}{3}} - 25}\); 5) \(\frac{m^{\frac{7}{6}} - 36m^{\frac{5}{6}}}{m^{\frac{1}{2}} - 6m^{\frac{1}{3}}}\); 6) \(\frac{24^{\frac{1}{4}} - 8^{\frac{1}{4}}}{6^{\frac{1}{4}} - 2^{\frac{1}{4}}}\).
Дроби рассматриваем при тех значениях переменных, при которых основания степеней с дробными показателями неотрицательны, а знаменатели отличны от нуля.
1) Вынесем в числителе множитель \(a^{\frac{1}{3}}\), учитывая, что \(a^{\frac{1}{3}} \cdot a^{\frac{2}{3}} = a\): \[\frac{a + 2a^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{2}{3}} + 2} = \frac{a^{\frac{1}{3}}\left(a^{\frac{2}{3}} + 2\right)}{a^{\frac{2}{3}} + 2} = a^{\frac{1}{3}}.\]
2) Числитель — разность квадратов \(a - b^2 = \left(a^{\frac{1}{2}}\right)^2 - b^2\), в знаменателе выносим \(a^{\frac{1}{2}}\): \[\begin{aligned} &\frac{a - b^2}{a - a^{\frac{1}{2}}b} = \frac{\left(a^{\frac{1}{2}} - b\right)\left(a^{\frac{1}{2}} + b\right)}{a^{\frac{1}{2}}\left(a^{\frac{1}{2}} - b\right)} = {} \\ &= \frac{a^{\frac{1}{2}} + b}{a^{\frac{1}{2}}} = 1 + \frac{b}{a^{\frac{1}{2}}}. \end{aligned}\]
3) В числителе выносим \(x^{2{,}5}y^{2{,}5}\), знаменатель свёртываем в квадрат суммы: \[\begin{aligned} &\frac{x^{3{,}5}y^{2{,}5} - x^{2{,}5}y^{3{,}5}}{x + 2x^{0{,}5}y^{0{,}5} + y} = \frac{x^{2{,}5}y^{2{,}5}(x - y)}{\left(x^{0{,}5} + y^{0{,}5}\right)^2} = {} \\ &= \frac{x^{2{,}5}y^{2{,}5}\left(x^{0{,}5} - y^{0{,}5}\right)\left(x^{0{,}5} + y^{0{,}5}\right)}{\left(x^{0{,}5} + y^{0{,}5}\right)^2} = x^{2{,}5}y^{2{,}5} \cdot \frac{x^{0{,}5} - y^{0{,}5}}{x^{0{,}5} + y^{0{,}5}}. \end{aligned}\]
4) Числитель — разность кубов \(a - 125 = \left(a^{\frac{1}{3}}\right)^3 - 5^3\), знаменатель — разность квадратов \(a^{\frac{2}{3}} - 25 = \left(a^{\frac{1}{3}}\right)^2 - 5^2\): \[\begin{aligned} &\frac{a - 125}{a^{\frac{2}{3}} - 25} = \frac{\left(a^{\frac{1}{3}} - 5\right)\left(a^{\frac{2}{3}} + 5a^{\frac{1}{3}} + 25\right)}{\left(a^{\frac{1}{3}} - 5\right)\left(a^{\frac{1}{3}} + 5\right)} = {} \\ &= \frac{a^{\frac{2}{3}} + 5a^{\frac{1}{3}} + 25}{a^{\frac{1}{3}} + 5}. \end{aligned}\]
5) В числителе выносим \(m^{\frac{5}{6}}\), в знаменателе — \(m^{\frac{1}{3}}\), после чего раскладываем разность квадратов \(m^{\frac{1}{3}} - 36 = \left(m^{\frac{1}{6}}\right)^2 - 6^2\): \[\begin{aligned} &\frac{m^{\frac{7}{6}} - 36m^{\frac{5}{6}}}{m^{\frac{1}{2}} - 6m^{\frac{1}{3}}} = \frac{m^{\frac{5}{6}}\left(m^{\frac{1}{3}} - 36\right)}{m^{\frac{1}{3}}\left(m^{\frac{1}{6}} - 6\right)} = {} \\ &= \frac{m^{\frac{5}{6}}\left(m^{\frac{1}{6}} - 6\right)\left(m^{\frac{1}{6}} + 6\right)}{m^{\frac{1}{3}}\left(m^{\frac{1}{6}} - 6\right)} = m^{\frac{1}{2}}\left(m^{\frac{1}{6}} + 6\right) = m^{\frac{2}{3}} + 6m^{\frac{1}{2}}. \end{aligned}\]
6) По свойству степени произведения \(24^{\frac{1}{4}} = 4^{\frac{1}{4}} \cdot 6^{\frac{1}{4}}\) и \(8^{\frac{1}{4}} = 4^{\frac{1}{4}} \cdot 2^{\frac{1}{4}}\), поэтому \[\frac{24^{\frac{1}{4}} - 8^{\frac{1}{4}}}{6^{\frac{1}{4}} - 2^{\frac{1}{4}}} = \frac{4^{\frac{1}{4}}\left(6^{\frac{1}{4}} - 2^{\frac{1}{4}}\right)}{6^{\frac{1}{4}} - 2^{\frac{1}{4}}} = 4^{\frac{1}{4}} = \left(2^2\right)^{\frac{1}{4}} = 2^{\frac{1}{2}}.\]
Ответ: 1) \(a^{\frac{1}{3}}\); 2) \(1 + \frac{b}{a^{\frac{1}{2}}}\); 3) \(x^{2{,}5}y^{2{,}5} \cdot \frac{x^{0{,}5} - y^{0{,}5}}{x^{0{,}5} + y^{0{,}5}}\); 4) \(\frac{a^{\frac{2}{3}} + 5a^{\frac{1}{3}} + 25}{a^{\frac{1}{3}} + 5}\); 5) \(m^{\frac{2}{3}} + 6m^{\frac{1}{2}}\); 6) \(2^{\frac{1}{2}}\).
