Страница 107 номер 13.14, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Постройте график функции: 1) \(y = \left(x^{\frac{1}{3}}\right)^3\); 2) \(y = \left((x - 2)^{\frac{1}{4}}\right)^4\); 3) \(y = x^{\frac{1}{2}}x^{\frac{1}{3}}x^{\frac{1}{6}}\).
1) Показатель \(\frac{1}{3}\) положителен, поэтому \(D(y) = [0;\ +\infty)\). При \(x > 0\) имеем \(\left(x^{\frac{1}{3}}\right)^3 = x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = x\), при \(x = 0\) получаем \(\left(0^{\frac{1}{3}}\right)^3 = 0\). Значит, \(y = x\), \(D(y) = [0;\ +\infty)\) — луч прямой \(y = x\) с началом в точке \((0;\ 0)\), причём эта точка графику принадлежит.
2) Выражение \((x - 2)^{\frac{1}{4}}\) имеет смысл при \(x \geqslant 2\). При \(x > 2\) имеем \(\left((x - 2)^{\frac{1}{4}}\right)^4 = (x - 2)^{\frac{1}{4} \cdot 4} = x - 2\), при \(x = 2\) обе части равны нулю. Значит, \(y = x - 2\), \(D(y) = [2;\ +\infty)\) — луч прямой \(y = x - 2\) с началом в точке \((2;\ 0)\).
3) Каждый множитель определён при \(x \geqslant 0\). При \(x > 0\) имеем \(x^{\frac{1}{2}}x^{\frac{1}{3}}x^{\frac{1}{6}} = x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6}} = x^1 = x\), при \(x = 0\) произведение равно нулю. Значит, \(y = x\), \(D(y) = [0;\ +\infty)\) — та же функция, что и в пункте 1).
Ответ: в пунктах 1) и 3) график — луч прямой \(y = x\) при \(x \geqslant 0\) с началом в точке \((0;\ 0)\); в пункте 2) — луч прямой \(y = x - 2\) при \(x \geqslant 2\) с началом в точке \((2;\ 0)\).
Постройте график функции: 1) \(y = \left(x^{\frac{1}{3}}\right)^3\); 2) \(y = \left((x - 2)^{\frac{1}{4}}\right)^4\); 3) \(y = x^{\frac{1}{2}}x^{\frac{1}{3}}x^{\frac{1}{6}}\).
1) Показатель \(\frac{1}{3}\) положителен, поэтому область определения функции — промежуток \([0;\ +\infty)\). При \(x > 0\) по свойству степени степени \(\left(x^{\frac{1}{3}}\right)^3 = x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = x\), а при \(x = 0\) получаем \(\left(0^{\frac{1}{3}}\right)^3 = 0\). Значит, данную функцию можно задать такими условиями: \(y = x\), \(D(y) = [0;\ +\infty)\). Её график — луч прямой \(y = x\) с началом в точке \((0;\ 0)\), причём эта точка графику принадлежит.
2) Выражение \((x - 2)^{\frac{1}{4}}\) имеет смысл при \(x - 2 \geqslant 0\), то есть при \(x \geqslant 2\). При \(x > 2\) имеем \(\left((x - 2)^{\frac{1}{4}}\right)^4 = (x - 2)^{\frac{1}{4} \cdot 4} = x - 2\), при \(x = 2\) обе части равны нулю. Значит, \(y = x - 2\), \(D(y) = [2;\ +\infty)\), и график — луч прямой \(y = x - 2\) с началом в точке \((2;\ 0)\).
3) Каждый из множителей определён при \(x \geqslant 0\). При \(x > 0\) по свойству произведения степеней \(x^{\frac{1}{2}}x^{\frac{1}{3}}x^{\frac{1}{6}} = x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6}} = x^1 = x\), а при \(x = 0\) произведение равно нулю. Значит, \(y = x\), \(D(y) = [0;\ +\infty)\) — та же функция, что и в пункте 1).
Ответ: в пунктах 1) и 3) график — луч прямой \(y = x\) при \(x \geqslant 0\) с началом в точке \((0;\ 0)\); в пункте 2) — луч прямой \(y = x - 2\) при \(x \geqslant 2\) с началом в точке \((2;\ 0)\).
