Страница 107 номер 13.11, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Сократите дробь: 1) \(\frac{a - 4b}{a^{0{,}5} + 2b^{0{,}5}}\); 2) \(\frac{a - b}{ab^{\frac{1}{2}} + a^{\frac{1}{2}}b}\); 3) \(\frac{4c^{\frac{2}{3}} - 12c^{\frac{1}{3}}d^{\frac{1}{3}} + 9d^{\frac{2}{3}}}{2c^{\frac{1}{3}} - 3d^{\frac{1}{3}}}\); 4) \(\frac{m^{\frac{1}{2}} - n^{\frac{1}{2}}}{m^{\frac{3}{2}} - n^{\frac{3}{2}}}\); 5) \(\frac{a^{\frac{3}{4}} + 7a^{\frac{1}{2}}}{a - 49a^{\frac{1}{2}}}\); 6) \(\frac{30^{\frac{1}{5}} - 6^{\frac{1}{5}}}{10^{\frac{1}{5}} - 2^{\frac{1}{5}}}\).
Дроби рассматриваем при тех значениях переменных, при которых основания степеней с дробными показателями неотрицательны, а знаменатели отличны от нуля.
1) \[\begin{aligned} &\frac{a - 4b}{a^{0{,}5} + 2b^{0{,}5}} = {} \\ &= \frac{\left(a^{0{,}5} - 2b^{0{,}5}\right)\left(a^{0{,}5} + 2b^{0{,}5}\right)}{a^{0{,}5} + 2b^{0{,}5}} = a^{0{,}5} - 2b^{0{,}5}. \end{aligned}\]
2) \[\begin{aligned} &\frac{a - b}{ab^{\frac{1}{2}} + a^{\frac{1}{2}}b} = \frac{\left(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}\right)\left(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}\right)}{a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}\left(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}\right)} = {} \\ &= \frac{a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}}. \end{aligned}\]
3) \[\begin{aligned} &\frac{4c^{\frac{2}{3}} - 12c^{\frac{1}{3}}d^{\frac{1}{3}} + 9d^{\frac{2}{3}}}{2c^{\frac{1}{3}} - 3d^{\frac{1}{3}}} = {} \\ &= \frac{\left(2c^{\frac{1}{3}} - 3d^{\frac{1}{3}}\right)^2}{2c^{\frac{1}{3}} - 3d^{\frac{1}{3}}} = 2c^{\frac{1}{3}} - 3d^{\frac{1}{3}}. \end{aligned}\]
4) \[\begin{aligned} &\frac{m^{\frac{1}{2}} - n^{\frac{1}{2}}}{m^{\frac{3}{2}} - n^{\frac{3}{2}}} = \frac{m^{\frac{1}{2}} - n^{\frac{1}{2}}}{\left(m^{\frac{1}{2}} - n^{\frac{1}{2}}\right)\left(m + m^{\frac{1}{2}}n^{\frac{1}{2}} + n\right)} = {} \\ &= \frac{1}{m + m^{\frac{1}{2}}n^{\frac{1}{2}} + n}. \end{aligned}\]
5) \[\begin{aligned} &\frac{a^{\frac{3}{4}} + 7a^{\frac{1}{2}}}{a - 49a^{\frac{1}{2}}} = \frac{a^{\frac{1}{2}}\left(a^{\frac{1}{4}} + 7\right)}{a^{\frac{1}{2}}\left(a^{\frac{1}{2}} - 49\right)} = {} \\ &= \frac{a^{\frac{1}{4}} + 7}{\left(a^{\frac{1}{4}} - 7\right)\left(a^{\frac{1}{4}} + 7\right)} = \frac{1}{a^{\frac{1}{4}} - 7}. \end{aligned}\]
6) \[\frac{30^{\frac{1}{5}} - 6^{\frac{1}{5}}}{10^{\frac{1}{5}} - 2^{\frac{1}{5}}} = \frac{3^{\frac{1}{5}}\left(10^{\frac{1}{5}} - 2^{\frac{1}{5}}\right)}{10^{\frac{1}{5}} - 2^{\frac{1}{5}}} = 3^{\frac{1}{5}}.\]
Ответ: 1) \(a^{0{,}5} - 2b^{0{,}5}\); 2) \(\frac{a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}}\); 3) \(2c^{\frac{1}{3}} - 3d^{\frac{1}{3}}\); 4) \(\frac{1}{m + m^{\frac{1}{2}}n^{\frac{1}{2}} + n}\); 5) \(\frac{1}{a^{\frac{1}{4}} - 7}\); 6) \(3^{\frac{1}{5}}\).
Сократите дробь: 1) \(\frac{a - 4b}{a^{0{,}5} + 2b^{0{,}5}}\); 2) \(\frac{a - b}{ab^{\frac{1}{2}} + a^{\frac{1}{2}}b}\); 3) \(\frac{4c^{\frac{2}{3}} - 12c^{\frac{1}{3}}d^{\frac{1}{3}} + 9d^{\frac{2}{3}}}{2c^{\frac{1}{3}} - 3d^{\frac{1}{3}}}\); 4) \(\frac{m^{\frac{1}{2}} - n^{\frac{1}{2}}}{m^{\frac{3}{2}} - n^{\frac{3}{2}}}\); 5) \(\frac{a^{\frac{3}{4}} + 7a^{\frac{1}{2}}}{a - 49a^{\frac{1}{2}}}\); 6) \(\frac{30^{\frac{1}{5}} - 6^{\frac{1}{5}}}{10^{\frac{1}{5}} - 2^{\frac{1}{5}}}\).
Дроби рассматриваем при тех значениях переменных, при которых основания степеней с дробными показателями неотрицательны, а знаменатели отличны от нуля.
1) Так как \(a = \left(a^{0{,}5}\right)^2\) и \(4b = \left(2b^{0{,}5}\right)^2\), числитель — разность квадратов: \[\begin{aligned} &\frac{a - 4b}{a^{0{,}5} + 2b^{0{,}5}} = {} \\ &= \frac{\left(a^{0{,}5} - 2b^{0{,}5}\right)\left(a^{0{,}5} + 2b^{0{,}5}\right)}{a^{0{,}5} + 2b^{0{,}5}} = a^{0{,}5} - 2b^{0{,}5}. \end{aligned}\]
2) В знаменателе вынесем множитель \(a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}\), числитель разложим как разность квадратов: \[\begin{aligned} &\frac{a - b}{ab^{\frac{1}{2}} + a^{\frac{1}{2}}b} = \frac{\left(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}\right)\left(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}\right)}{a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}\left(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}\right)} = {} \\ &= \frac{a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}}. \end{aligned}\]
3) Числитель — квадрат разности: \[\begin{aligned} &\frac{4c^{\frac{2}{3}} - 12c^{\frac{1}{3}}d^{\frac{1}{3}} + 9d^{\frac{2}{3}}}{2c^{\frac{1}{3}} - 3d^{\frac{1}{3}}} = {} \\ &= \frac{\left(2c^{\frac{1}{3}} - 3d^{\frac{1}{3}}\right)^2}{2c^{\frac{1}{3}} - 3d^{\frac{1}{3}}} = 2c^{\frac{1}{3}} - 3d^{\frac{1}{3}}. \end{aligned}\]
4) Знаменатель — разность кубов, так как \(m^{\frac{3}{2}} = \left(m^{\frac{1}{2}}\right)^3\) и \(n^{\frac{3}{2}} = \left(n^{\frac{1}{2}}\right)^3\): \[\begin{aligned} &\frac{m^{\frac{1}{2}} - n^{\frac{1}{2}}}{m^{\frac{3}{2}} - n^{\frac{3}{2}}} = \frac{m^{\frac{1}{2}} - n^{\frac{1}{2}}}{\left(m^{\frac{1}{2}} - n^{\frac{1}{2}}\right)\left(m + m^{\frac{1}{2}}n^{\frac{1}{2}} + n\right)} = {} \\ &= \frac{1}{m + m^{\frac{1}{2}}n^{\frac{1}{2}} + n}. \end{aligned}\]
5) Вынесем в числителе и в знаменателе множитель \(a^{\frac{1}{2}}\), а затем разложим разность квадратов \(a^{\frac{1}{2}} - 49 = \left(a^{\frac{1}{4}}\right)^2 - 7^2\): \[\begin{aligned} &\frac{a^{\frac{3}{4}} + 7a^{\frac{1}{2}}}{a - 49a^{\frac{1}{2}}} = \frac{a^{\frac{1}{2}}\left(a^{\frac{1}{4}} + 7\right)}{a^{\frac{1}{2}}\left(a^{\frac{1}{2}} - 49\right)} = {} \\ &= \frac{a^{\frac{1}{4}} + 7}{\left(a^{\frac{1}{4}} - 7\right)\left(a^{\frac{1}{4}} + 7\right)} = \frac{1}{a^{\frac{1}{4}} - 7}. \end{aligned}\]
6) По свойству степени произведения \(30^{\frac{1}{5}} = 3^{\frac{1}{5}} \cdot 10^{\frac{1}{5}}\) и \(6^{\frac{1}{5}} = 3^{\frac{1}{5}} \cdot 2^{\frac{1}{5}}\), поэтому \[\frac{30^{\frac{1}{5}} - 6^{\frac{1}{5}}}{10^{\frac{1}{5}} - 2^{\frac{1}{5}}} = \frac{3^{\frac{1}{5}}\left(10^{\frac{1}{5}} - 2^{\frac{1}{5}}\right)}{10^{\frac{1}{5}} - 2^{\frac{1}{5}}} = 3^{\frac{1}{5}}.\]
Ответ: 1) \(a^{0{,}5} - 2b^{0{,}5}\); 2) \(\frac{a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}}\); 3) \(2c^{\frac{1}{3}} - 3d^{\frac{1}{3}}\); 4) \(\frac{1}{m + m^{\frac{1}{2}}n^{\frac{1}{2}} + n}\); 5) \(\frac{1}{a^{\frac{1}{4}} - 7}\); 6) \(3^{\frac{1}{5}}\).
