Страница 106 номер 13.1, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Найдите значение выражения: 1) \(4^{\frac{1}{2}}\); 2) \(0{,}216^{-\frac{1}{3}}\); 3) \(27^{\frac{4}{3}}\); 4) \(32^{-0{,}2}\).
1) \[4^{\frac{1}{2}} = \sqrt{4} = 2.\]
2) \(\sqrt[3]{0{,}216} = 0{,}6\), так как \(0{,}6^3 = 0{,}216\), поэтому \[0{,}216^{-\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{0{,}216}} = \frac{1}{0{,}6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}.\]
3) \[27^{\frac{4}{3}} = \sqrt[3]{27^4} = \left(\sqrt[3]{27}\right)^4 = 3^4 = 81.\]
4) \[32^{-0{,}2} = 32^{-\frac{1}{5}} = \frac{1}{\sqrt[5]{32}} = \frac{1}{2}.\]
Ответ: 1) \(2\); 2) \(\frac{5}{3}\); 3) \(81\); 4) \(\frac{1}{2}\).
Найдите значение выражения: 1) \(4^{\frac{1}{2}}\); 2) \(0{,}216^{-\frac{1}{3}}\); 3) \(27^{\frac{4}{3}}\); 4) \(32^{-0{,}2}\).
Значение каждой степени находим по определению степени с рациональным показателем: \(a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}\), где \(a > 0\), \(m \in \mathbf{Z}\), \(n \in \mathbf{N}\), \(n > 1\). Отрицательный показатель заменяем положительным по равенству \(a^{-p} = \frac{1}{a^p}\).
1) \[4^{\frac{1}{2}} = \sqrt{4} = 2.\]
2) \(\sqrt[3]{0{,}216} = 0{,}6\), так как \(0{,}6^3 = 0{,}216\), поэтому \[0{,}216^{-\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{0{,}216}} = \frac{1}{0{,}6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}.\]
3) \[27^{\frac{4}{3}} = \sqrt[3]{27^4} = \left(\sqrt[3]{27}\right)^4 = 3^4 = 81.\]
4) \[32^{-0{,}2} = 32^{-\frac{1}{5}} = \frac{1}{\sqrt[5]{32}} = \frac{1}{2}.\]
Ответ: 1) \(2\); 2) \(\frac{5}{3}\); 3) \(81\); 4) \(\frac{1}{2}\).
